İddia: $x_0 \in [0,5]$ için bir $M$ sayısı bulunabilir.
İspat:
$\dfrac{x_{-1}^2+10}{7} > 0$ olduğundan $x_0$ negatif olamaz, aslında her $n$ için $x_n \gt 0$'dır.
$x_{n+1} - x_{n} = \dfrac{x_n^2+10}{7} - x_n = \dfrac{x_{n}^2 - 7x_n+10}{7} = \dfrac{(x_n - 5)(x_n - 2)}{7}$, $x_n \notin [2, 5]$ için sıfırdan büyüktür yani $x_n \notin [2, 5]$ için dizi artandır.
$x_0 > 5$ için $x_n < M$ olmasını sağlayan bir $M$ gerçel sayısının varlığı için dizinin üstten limiti var olmalıdır, $L = \lim_{n \to \infty} x_n$ dersek $L = \dfrac{L^2+10}{7}$ için $L = 2$ veya $L = 5$ elde edilir fakat dizinin artanlığından bu mümkün değildir.
$5 \ge x_0 \ge 2$ için $x_n \ge 0$ olduğundan $5 \ge x_0 \ge 2 \iff 25 \ge x_0^2 \ge 4 \iff 35 \ge x_0^2 + 10 \ge 14 \iff 5 \ge \dfrac{x_0^2+10}{7} = x_1 \ge 2$ elde edilir tümevarımdan tüm $n > 0$ için $5 \ge x_n \ge 2$'dir. $5 \ge \dfrac{x_{-1}^2+10}{7} \ge 2$ aynı şekilde $5 \ge x_{-1} \ge 2$ elde edilir tümevarımdan $n \lt 0$ için $5 \ge x_n \ge 2$ olur.
$2 \gt x_0$ için $x_n \ge 0$ olduğundan $2 \gt x_0 \iff 4 \gt x_0^2 \iff 14 \gt x_0^2 +10 \iff 2 \gt \dfrac{x_0^2+10}{7} = x_1$ elde edilir tümevarımdan $n>0$ için $x_n \lt 2$ elde edilir. $2 \gt \dfrac{x_{-1}^2+10}{7}$'den aynı şekilde $2 \gt x_{-1}$ elde edilir tümevarımdan $n\lt0$ için $x_n \lt 2$ elde edilir, kanıtı bitirdiği açıktır.
