Çemberin merkezi $O$ ve yedigenin köşeleri sırasıyla $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,A_7$ olsun.
$\alpha_i=\angle A_iOA_{i+1}$ olsun ($\alpha_7=\angle A_7OA_1$).
Dik kesişen köşegenlerin gördüğü karşılıklı yayların toplamı ${180}^{\circ }$ olacak.
(http://geomania.org/forum/2006-61/1-3271/?action=dlattach;attach=13298;image)
Dik kesişen köşegenleri koordinat sistemine, kesiştikleri nokta orijin olacak şekilde yerleştirelim. Bu durumda $\alpha_i$ açılarını her kümedeki elemanların toplamı $\pi={180}^{\circ }$ olacak şekilde iki ayrık kümeye ayırabiliriz. Bu kümelerin eleman sayıları $\left(1,6\right)$, $\left(2,5\right)$ ya da $\left(3,4\right)$ şeklinde olabilir (diğerleri simetrik). $\beta_i$ ile bu kümelerin elemanlarını gösterelim.
$\left(1,6\right)$ durumu için $\beta_1=\pi,\ \beta_2+\beta_3+\beta_4+\beta_5+\beta_6+\beta_7=\pi$ olacaktır.
$\left(2,5\right)$ durumu için $\beta_1+\beta_2=\pi,\ \beta_3+\beta_4+\beta_5+\beta_6+\beta_7=\pi$ olacaktır.
$\left(3,4\right)$ durumu için $\beta_1+\beta_2+\beta_3=\pi,\ \beta_4+\beta_5+\beta_6+\beta_7=\pi$ olacaktır.
Yedigenin alanı $\dfrac{1}{2}\cdot R\cdot R\sum^7_{i=1}{{\sin \beta_i\ }}$ olduğundan açıların sinüsleri toplamını maksimize etmek istiyoruz.
Jensen Eşitsizliğine göre $\dfrac{{\sin a_1\ }+{\sin a_2+\dots +{\sin a_n\ }\ }}{n}\le {\sin \left(\dfrac{a_1+a_2+\dots +a_n}{n}\right)\ }$ olacağı için,
$\left(1,6\right)$ durumu için,
$$\sum^7_{i=1}{{\sin \beta_i\ }}\le {\sin \beta_1\ }+6{\sin \dfrac{\beta_2+\beta_3+\beta_4+\beta_5+\beta_6+\beta_7}{6}\ }={\sin \pi\ }+6{\sin \dfrac{\pi}{6}=0+6\cdot \dfrac{1}{2}=3\ }$$
$\left(2,5\right)$ durumu için,
$$\sum^7_{i=1}{{\sin \beta_i\ }}\le {{\rm 2sin} \dfrac{\beta_1+\beta_2}{2}\ }+5{\sin \dfrac{\beta_3+\beta_4+\beta_5+\beta_6+\beta_7}{5}\ }={{\rm 2sin} \dfrac{\pi}{2}\ }+5{\sin \dfrac{\pi}{5}=2+{{\rm 5sin} {36}^{\circ }\ }\ }$$
$\left(3,4\right)$ durumu için,
$$\sum^7_{i=1}{{\sin \beta_i\ }}\le {{\rm 3sin} \dfrac{\beta_1+\beta_2+\beta_3}{3}\ }+4{\sin \dfrac{\beta_4+\beta_5+\beta_6+\beta_7}{4}\ }={{\rm 3sin} \dfrac{\pi}{3}\ }+4{\sin \dfrac{\pi}{4}\ }=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{4\sqrt{2}}{2}\ $$
$3<2+5{\sin {36}^{\circ }\ }<\dfrac{3\sqrt{3}+4\sqrt{2}\ }{2}$ olduğunu göstermeye çalışacağız.
Şekildeki gibi ${36}^{\circ }-{36}^{\circ }-{108}^{\circ }$ üçgenini kuralım.
$AB=AC=x$, $AD=DC=1$ olsun. $\angle BAD=\angle BAC-\angle DAC={72}^{\circ }=\angle BDA$ olduğu için, $BD=x$ olacaktır. $\triangle ADC\sim \triangle BAC$ olduğu için $\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{1}{x}\Rightarrow x^2-x-1=0$.
(http://geomania.org/forum/2006-61/1-3271/?action=dlattach;attach=13300;image)
$\triangle ADC$ de, $\dfrac{AC}{DC}=\dfrac{x}{1}=\dfrac{{\sin {108}^{\circ }\ }}{{\sin {36}^{\circ }\ }}=\dfrac{{\sin {72}^{\circ }\ }}{{\sin {36}^{\circ }\ }}=2{\cos {36}^{\circ }\ }=x$ dir. Denklemi çözersek;
$x_{1,2}=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow {\cos {36}^{\circ }\ }=\dfrac{x}{2}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$ elde ederiz.
$${\sin {36}^{\circ }=\sqrt{1-{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\right)}^2}\ }=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$$
$2+5{\sin {36}^{\circ }\ }<2+5\cdot \dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{4}}}{4}=\dfrac{8+5\sqrt{6}}{4}$ elde edilir.
$2+5{\sin {36}^{\circ }\ }<\dfrac{3\sqrt{3}+4\sqrt{2}\ }{2}$ iddiasının doğruluğunu sınamak için her iki tarafın karesini alalım.
$$\dfrac{8+5\sqrt{6}}{2}<3\sqrt{3}+4\sqrt{2}\Rightarrow 64+150+80\sqrt{6}<108+128+96\sqrt{6}\Rightarrow 0<22+16\sqrt{6}$$
olduğu için, $\left(3,4\right)$ durumda, yani $\beta_1+\beta_2+\beta_3=\pi,\ \beta_4+\beta_5+\beta_6+\beta_7=\pi$ olduğu zaman yedigenin alanı en büyük değerini alacak. Jensen'deki eşitlik durumundan, $\beta_1=\beta_2=\beta_3=\dfrac{\pi}{3}={60}^{\circ }$ ve $\beta_4=\beta_5=\beta_6=\beta_7=\dfrac{\pi}{4}={45}^{\circ }$ elde edilir.
(http://geomania.org/forum/2006-61/1-3271/?action=dlattach;attach=13302;image)
Alanı hesaplarsak, $\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot \left(4\cdot {\sin {45}^{\circ }\ }+3\cdot {\sin {60}^{\circ }\ }\right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}+\sqrt{2}$ elde ederiz.