Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise Takım Seçme => 2003 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ağustos 09, 2013, 01:46:26 öö
-
$(x^2+y^2)^2 + 2tx(x^2 + y^2) = t^2y^2$ denkleminin $x,y$ pozitif tam sayılar olmak üzere bir çözümünün bulunmasını sağlayan en küçük $t$
- pozitif gerçel sayısını
- pozitif tam sayısını
bulunuz.
-
İfadeyi tek tarafta toplayıp $t$'ye bağlı bir denklem elde edelim. $$t^2y^2-2tx(x^2+y^2)-(x^2+y^2)^2=0\implies t_{1,2}=\frac{x(x^2+y^2)\pm (x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}{y^2}$$ olur. $t$'yi iki şıkta da pozitif istediği için pozitif kabul edebiliriz. Bu durumda $\sqrt{x^2+y^2}>x$ olduğundan tek çözüm $$t=\frac{(x^2+y^2)(x+\sqrt{x^2+y^2})}{y^2}$$ olmalıdır.
$a)$ $t$ üzerinde tamsayı olma gibi bir koşul olmadığından sadece ifadeyi küçültmemiz gerekmektedir. İfade $x$'e göre artan olduğundan, en küçük değerini $x=1$ iken alacaktır. Dolayısıyla en küçük $t$ değeri için $$t=\frac{(1+y^2)(1+\sqrt{1+y^2})}{y^2}$$ olmalıdır. $y^2=a$ diyelim. $f:[1,\infty)$ ve $f(a)=\frac{(1+a)(1+\sqrt{1+a})}{a}$'nın en küçük değerini arayalım. $$f'(a)=\frac{a\sqrt{a+1}-2(\sqrt{a+1}+1)}{2a^2}$$ olur. $f'(a)=0$ olması için $$a\sqrt{a+1}-2(\sqrt{a+1}+1)=0\implies a=3$$ olmalıdır. Bu noktada $f$'in lokal minimum olduğu görülebilir. Yani $$t=\frac{(1+y^2)(1+\sqrt{1+y^2})}{y^2}$$ ifadesinin en küçük değeri $y=1$ veya $y=\sqrt{3}$ etrafında elde edilir çünkü $y=\sqrt{3}$ olamaz ama ifade bu değere yaklaştıkça küçülecektir. Dolayısıyla sadece $y=1,2$ durumlarını denemeliyiz. $y=2$ için daha küçük olduğu gösterilebilir. Dolayısıyla $t$'nin alabileceği en küçük değer $x=1$ ve $y=2$ için $$\boxed{t_{\min}=\frac{5+5\sqrt{5}}{4}}$$ elde edilir.
$b)$ Bu kısımda $t$ tamsayı olacağından $\sqrt{x^2+y^2}$ de tamsayı olmalıdır. $(x,y)=d$ için $x=du$ ve $y=dv$ yazarsak, $u^2+v^2$ hala tamkare olacaktır ve $$t=\frac{d(u^2+v^2)(u+\sqrt{u^2+v^2})}{v^2}$$ elde edilir. $(u,v)=(m^2-n^2,2mn)$ veya $(2mn,m^2-n^2)$ formatında olmalıdır ($m$ ve $n$ aralarında asal, birisi çift sayı.)
$(u,v)=(m^2-n^2,2mn)$ ise $$t=\frac{d(m^2+n^2)^2}{2n^2}$$ elde edilir. $m^2+n^2$ tek sayı olduğundan $(m^2+n^2)^2$ ve $2n^2$ aralarında asaldır ve $d=2n^2k$ formatında olmalıdır. En küçük durum için $k=1$ seçersek, $$(x,y,t)=\left(2n^2(m^2-n^2),4mn^3, (m^2+n^2)^2\right)$$ elde edilir. Bu durumda en küçük $t$ tamsayısı $(m,n)=(2,1)$ için $25$ olacaktır.
$(u,v)=(2mn,m^2-n^2)$ ise $$t=\frac{d(m^2+n^2)^2}{(m-n)^2}$$ olur. $((m-n)^2,m^2+n^2)=(2mn,m^2+n^2)=1$ olduğundan $(m-n)^2\mid d$ olmalıdır. En küçük değer için de $d=(m-n)^2$ seçmeliyiz. Buradan da $$(x,y,t)=\left(2mn(m-n)^2, (m^2-n^2)(m-n)^2, (m^2+n^2)^2\right)$$ elde edilir. En küçük $t$ için yine $(m,n)=(2,1)$ seçmeliyiz. Buradan da $t$'nin en küçük değeri $25$ elde edilir.
Sonuç olarak $t$ tamsayı ise $\boxed{t_{\min}=25}$ olacaktır.