Üçgen içerisinde P noktası, Model 4.6

[geo]

$ABC$ üçgeninin iç bölgesinde $\angle PCB = t$, $\angle BAP = 30^\circ - t$, $\angle CAP = 90^\circ - t$ ve $\angle ACP = 30^\circ$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $\angle PBC = 2t$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

Soruyu modellersek, (bkz. Ceva Modelleri), Model 4.6 $(t, 90-t):(30-t,30) \to (30-t, 2t)$ yi elde ederiz.

$AB=AC$ ve $\angle PAC - \angle PAB = 60^\circ$.
$\triangle APC$ nin çevrel merkezi $O$ olsun. $\triangle AOP$ eşkenar olacaktır. $AP=AO=OC$.
$\triangle BAP \cong \triangle OAC$ $(K-A-K)$ olduğu içn $\angle ABP = \angle BAP = 30^\circ - t$ ve $\angle PBC = 2t$ dir.

[geo]

$\angle PBC = \alpha$ olsun.

Ceva Teoreminin Trigonometrik Halinden $$\dfrac{\sin (30^\circ + t - \alpha)}{\sin \alpha} \cdot \dfrac{\sin t}{\sin 30^\circ} \cdot \dfrac{\sin (90^\circ - t)}{\sin (30^\circ -t)} = 1$$ elde edilir.
$\begin{array}{lcl}
\dfrac{\sin (30^\circ + t - \alpha)}{\sin \alpha} &=& \dfrac{\sin 30^\circ \sin (30^\circ - t)}{\sin t \sin (90^\circ - t)}\\
&=& \dfrac{\sin (30^\circ -t)}{2\sin t \cos t}\\
&=& \dfrac{\sin (30^\circ - t)}{\sin 2t}\\
&=& \dfrac{\sin (30^\circ + t - 2t)}{\sin 2t}\\
&\Rightarrow & \alpha = 2t. \blacksquare
\end{array}$