Geometrik eşitsizlik

[mehmetutku]

$O$ noktası $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir. $M$ ve $N$ sırası ile $[AB]$ ve $[BC]$ kenarları üzerinde $2\angle MON=\angle AOC$ olacak şekilde alınıyor. $MBN$ üçgeninin çevresinin $[AC]$ kenarının uzunluğundan az olamayacağını gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

$\triangle{BMO}$ nin $OM$ ye göre simetriği $\triangle{B'MO}$ ve $\triangle{BNO}$ nin $ON$ ye göre simetriği $\triangle{B''NO}$ olsun.

Buna göre, $\angle{B'OB''}=2\angle{MON}=\angle{AOC}$ ve $O$ çevrel merkez olduğundan, $|OA|=|OC|=|OB|=|OB'|=|OB''|$ dir.

Sonuç olarak, $\triangle{AOC}\cong \triangle{B'OB''}$ olup $|AC|=|B'B''| \leq |B'M|+|MN|+|NB''| = \text{Çevre}(BMN)$ dir.

Eşitlik durumu üçgen eşkenar olduğunda sağlanır. Bu durumda $O$ noktası $BMN$ üçgeninin dış merkezidir.