Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 36

[Lokman Gökçe]

$\lfloor x^2 + 4x \rfloor = \lfloor x^2 \rfloor + 4\lfloor x \rfloor $ denkleminin reel sayılardaki çözüm kümesinde $x=0$ sayısını içine alan en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

$ \textbf{a)}\ -1 \leq x \leq 1 \qquad\textbf{b)}\ 0\leq x < \sqrt{5}-2 \qquad\textbf{c)}\  -\dfrac{1}{2}\leq x \leq \sqrt{5}-2 \qquad\textbf{d)}\ x=0 \qquad\textbf{e)}\ 0\leq x \leq \sqrt{5}-2 $

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

$-1<x<0$ olsun.
$\lfloor x \rfloor  = -1$ ve $\lfloor x^2 \rfloor  = 0$ dır. Dolayısıyla $\lfloor x^2 \rfloor + 4\lfloor x \rfloor  = -4$ tür.

$f(x) = x^2 + 4x$ fonksiyonu bu aralıkta artandır. $ -3 = f(-1) < f(x) < f(0) = 0$ olduğu için $\lfloor x^2 + 4x \rfloor \in \{-1,-2,-3\}$.
Dolayısıyla $x=0$ çözümünü içeren aralığı negatif sayılara doğru genişletemeyiz.

Şimdi de bu aralığı pozitif sayılarda ne kadar genişletebiliriz, ona bakalım:
$0<x<1$ olsun.
$\lfloor x \rfloor  = 0$ ve $\lfloor x^2 \rfloor  = 0$ dır. Dolayısıyla $\lfloor x^2 \rfloor + 4\lfloor x \rfloor  = 0$ dır.
$\lfloor x^2 + 4x \rfloor = 0$ olması için $x^2 + 4x<1$ olması gerekir.
$x^2 + 4x - 1 < 0$ eşitsizliğini çözersek $x_{1,2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt {4^2 + 4}}{2} = -2 \pm \sqrt 5$.
O halde $0 < x < \sqrt 5 - 2 < 1$ aralığındaki sayılar için $\lfloor x^2 + 4x \rfloor = 0$ dır.
$\sqrt 5 - 2 \leq  x < 1$ olduğunda $1 \leq \lfloor x^2 + 4x \rfloor < 5$ olacağı için bu aralıktaki hiçbir sayı denklemi sağlamaz.

Toplarsak $x=0$ içeren en büyük aralık: $0 \leq x < \sqrt 5 - 2$ dir.