Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 14

[Lokman Gökçe]

$20^{15}-1$ sayısı aşağıdakilerden hangisi ile bölünmez?

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 19  \qquad\textbf{c)}\ 31 \qquad\textbf{d)}\ 41 \qquad\textbf{e)}\ 61 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Seçenekleri inceleyelim.

$\text{a)}$ için Fermat teoremine göre $3^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ olduğundan $20^{15} \equiv 9^{15} \equiv 3^{30} \equiv (3^{10})^3 \equiv 1 \pmod{11}$ elde edilir. $11| (20^{15} -1)$ dir.

$\text{b)}$ için $20 \equiv 1 \pmod{19}$ ve $20^{15} \equiv 1 \pmod{19}$ olduğundan $19| (20^{15} -1)$ dir.

$\text{c)}$ için Fermat teoremine göre $12^{30} \equiv 1 \pmod{31}$ olduğundan $20^{15} \equiv 51^{15} \equiv 82 ^{15} \equiv 113^{15} \equiv 144^{15} \equiv 12^{30} \equiv 1 \pmod{31}$ olup $31| (20^{15} -1)$ dir.

$\text{e)}$ için Fermat teoremine göre $3^{60} \equiv 1 \pmod{61}$ olduğundan $20^{15} \equiv 81^{15} \equiv  3^{60} \equiv 1 \pmod{31}$ olup $61| (20^{15} -1)$ dir.


Fakat,
$ \text{d)} $ için $ 20^{15} \equiv 9 \pmod{41}$ olduğu gösterilebilir. Böylece $41 \not{|} (20^{15} - 1) $ olur.