Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2022 Soru 4

[matematikolimpiyati]

Bir $ABCD$ paralelkenarında$,\ ABC$ nin çevrel çemberinin $A$ yı içermeyen $BC$ yayı üzerinde bir $P$ noktası ve $AC$ doğru parçasının $C$ tarafındaki uzantısı üzerinde bir $Q$ noktası $\angle{PBC} = \angle{CDQ}$ olacak biçimde alınıyor. $APQ$ nun çevrel çemberinin $AB$ doğrusuna teğet olduğunu gösteriniz.

[geo]

$\angle PBC = \angle CDQ = \alpha$ ve $\angle DQC = \beta$ olsun.
$\angle BAC = \angle DCA = \angle QDC + \angle CQD = \alpha + \beta$ ve $\angle BAP = \beta$ olacaktır.
$ABPC$ kirişler dörtgeninde $\angle PBC = \angle PAC = \alpha$ ve $\angle BCP = \angle BAP = \beta$ dır.
Dolayısıyla $\triangle PBC \sim \triangle CDQ$ $\quad (AA)$. Benzerlik oranlarını yazarsak $$\dfrac {PC}{CQ} = \dfrac {BC}{DQ} \tag {1}$$
$ABCD$ paralelkenarında $BC=AD$ olduğu için $$\dfrac {PC}{CQ} = \dfrac {AD}{DQ} \tag {2}$$
Yine paralelkenarın özelliğinden $\angle ADC = \angle ABC$, $ABPC$ kirişler dörtgeninde $$\angle PCQ = \angle ABP = \angle ABC + \angle PBC = \angle ADC + \angle CDQ = \angle ADQ \tag {3}$$
$(2)$ ve $(3)$ ün sonucu olarak $\triangle PCQ \sim \triangle ADQ \quad (KAK)$ elde edilir. Buradan da $\angle PQC = \angle AQD = \beta = \angle BAP$ elde edilir. Bu da $AB$ doğrusunun $(APQ)$ çemberine teğet olduğu anlamına gelir.