Tübitak Lise Takım Seçme 2020 Soru 9

[Eray]

$a, n$ pozitif tam sayıları için$$x_{1} x_{2} \cdots x_{10} \equiv a\pmod n$$denkliğini sağlayan $n$ modunda farklı $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{10}\right)$ tam sayı $10$-lularının sayısı $f(a, n)$ ile gösteriliyor. $a$ ve $b$ verilmiş pozitif tam sayılar olmak üzere,

$\text{(a)}$ $\dfrac{f(a, c n)}{f(b, c n)}$ oranının her $n$ pozitif tam sayısı için aynı değere eşit olmasını sağlayan bir $c$ pozitif tam sayısı bulunduğunu gösteriniz.

$\text{(b)}$ Böyle en küçük $c$ nin $27$ olmasını sağlayan tüm $(a, b)$ ikililerini bulunuz.

(Melih Üçer)