Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1962 Soru 1

[ERhan ERdoğan]

Aşağıdaki şartları sağlayan en küçük $n$ doğal sayısını bulunuz.

• Ondalık yazılımında son basamağı $6$ dır.
• Son basamağı silinip başa yazılırsa, oluşan sayı ilk baştaki $n$ sayısının dört katı oluyor.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Sayı $(a6)_{10}$ olsun. $4\cdot(a6)_{10}=(6a)_{10}$ dır. $a$ sayısı $k$ basamaklı olsun. O zaman ifadeyi açarsak $40a+24=6 \cdot 10^k+a$ yani $13\cdot a+8=2\cdot 10^k$ dir. Buradan $10^k\equiv4\pmod{13}$ ve en küçük $k$ sayısı $5$ bulunur. Yani bu şartları sağlayan en küçük $n$ sayısı $6$ basamaklıdır. Bu sayıyı da kolaylıkla $153846$ olarak bulabiliriz.