$p^3-q^3 = 3p(p-1)+4n^3+2m^2+1$ denklemini sağlayan $(p,q)$ asal sayı çifti bulu

[MATSEVER 27]

Soruyu şöyle değiştirsek daha iyi olabilir.


$p,q,r$ asal sayılar olmak üzere;
$$ p^3-q^3 = 3p(p-1)+pr+2qr+r+1$$
eşitliğini sağlayan $(p,q,r)$ üçlülerini bulunuz.


Çözüm: $(p-1)^3-q^3=r(p+2q+1)$ biliyoruz. $p,q,r>2$ olursa teklik-çiftlikten çelişki. O halde üç durum var. $p=2$ açıkça sağlamaz.

(i.) $r=2$ ise $(p-1)^3-q^3=2(p+2q+1)$ olur. $p>q$ idir. $p=q+k+1$ yazalım. $(q+k)^3-q^3=2(3q+k+2)$  ve $3q^2k+3qk^2+k^3=6q+2k+4$ burada $k>1$ için açıkça çelişki. $k=1$ olabilir. $3q^2+3q+1=6q+6$ ki $\pmod3$ ten çelişki.

(ii.) $q=2$ ise $(p-3)(p^2+3)=r(p+5)$ olur. $p+5 \mid (p-3)(p^2+3) \Longrightarrow p+5 \mid -8.28 $ o halde $p=2,7$ olur. $p=2$ için çözüm yok. $p=7$ için de çözüm yok. Yanıt: çözüm yok.

[ArtOfMathSolving]

Soruyu şöyle değiştirsek daha iyi olabilir.


$p,q,r$ asal sayılar olmak üzere;
$$ p^3-q^3 = 3p(p-1)+pr+2qr+r+1$$
eşitliğini sağlayan $(p,q,r)$ üçlülerini bulunuz.


Çözüm: $(p-1)^3-q^3=r(p+2q+1)$ biliyoruz. $p,q,r>2$ olursa teklik-çiftlikten çelişki. O halde üç durum var. $p=2$ açıkça sağlamaz.

(i.) $r=2$ ise $(p-1)^3-q^3=2(p+2q+1)$ olur. $p>q$ idir. $p=q+k+1$ yazalım. $(q+k)^3-q^3=2(3q+k+2)$  ve $3q^2k+3qk^2+k^3=6q+2k+4$ burada $k>1$ için açıkça çelişki. $k=1$ olabilir. $3q^2+3q+1=6q+6$ ki $\pmod3$ ten çelişki.

(ii.) $q=2$ ise $(p-3)(p^2+3)=r(p+5)$ olur. $p+5 \mid (p-3)(p^2+3) \Longrightarrow p+5 \mid -8.28 $ o halde $p=2,7$ olur. $p=2$ için çözüm yok. $p=7$ için de çözüm yok. Yanıt: çözüm yok.

Evet böylesi daha mantıklı, teşekkürler.