Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 33

[geo]

$[BC]$ çaplı bir çemberin bu çapına dik olan bir kirişi $[AD]$, $AC$ ve $CD$ yaylarının orta noktaları sırasıyla $E$ ve $F$, $AD \cap BE = \{G\}$, $AF\cap BC = \{H\}$ olmak üzere, $m(AC)=\alpha$ ise, $BHG$ açısının $\alpha$ cinsinden ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 90^\circ - \dfrac {\alpha}2
\qquad\textbf{b)}\ 60^\circ - \dfrac {\alpha}3
\qquad\textbf{c)}\ \alpha - 30^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 15^\circ + \dfrac{\alpha}2
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{180^\circ - 2\alpha}3
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$AD \cap BC = \{I\}$, $AF \cap BE = \{J\}$ ve $AB \cap GH = \{K\}$ olsun.
$$\begin{array}{rcl}
AE = EC &=& CF = FD \\
\angle BID &=& \dfrac {\angle AC + \angle BD}2 = 90^\circ \\ \\
\angle BJF &=& \dfrac {\angle AE + \angle BF}2 \\ \\
 &=& \dfrac {\angle AC - \angle EC  + \angle BF}2 \\ \\
 &=& \dfrac {\angle AC - \angle FD  + \angle BF}2 \\ \\
 &=& \dfrac {\angle AC + \angle BD}2 = 90^\circ\\
\end{array}$$
elde edilir. Bu durumda $\triangle ABH$ da, $AI$ ve $BJ$ yükseklik olduğu için $G$ diklik merkezi ve $HK$ da yükseklik olur. Bu durumda $$\angle ABH = \dfrac {\angle AC}2 = \dfrac{\alpha}2 \Rightarrow \angle ABH +  \angle BHG = 90^\circ \Rightarrow \angle BHG = 90^\circ - \dfrac {\alpha}2 $$ olur.