Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 08

[geo]

$(a_n)$ dizisi, $a_1 = 1$ ve $n \geq 1$ için $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{\sqrt {1+4a_n^2}}$ şeklinde tanımlanıyor. $a_k < 10^{-2}$ eşitsizliğini gerçekleyen en küçük $k$ değeri nedir?

$
\textbf{a)}\ 2501
\qquad\textbf{b)}\ 251
\qquad\textbf{c)}\ 2499
\qquad\textbf{d)}\ 249
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

$$\begin{array}{rcl}
\dfrac{\sqrt{1+4a_n^2}} {a_n} &=& \dfrac {1}{a_{n+1}} \\
\dfrac{1+4a_n^2} {a_n^2} &=& \dfrac {1}{a_{n+1}^2} \\
\dfrac{1} {a_n^2} + 4 &=& \dfrac {1}{a_{n+1}^2} \\
4 &=& \dfrac {1}{a_{n+1}^2} - \dfrac {1}{a_{n}^2} \\
\end{array} $$
Denklemin genel terimini bulmak için, son bulduğumuz eşitliği $a_1$'e kadar devam ettirelim.
$$\begin{array}{rcl}
4 &=& \dfrac {1}{a_{n}^2} - \dfrac {1}{a_{n-1}^2} \\
4 &=& \dfrac {1}{a_{n-1}^2} - \dfrac {1}{a_{n-2}^2} \\
&\vdots& \\
4 &=& \dfrac {1}{a_{2}^2} - \dfrac {1}{a_{1}^2} \\
4(n-1) &=& \dfrac {1}{a_{n}^2} - \dfrac {1}{a_{1}^2} \\
4(n-1)+1 &=& \dfrac {1}{a_{n}^2} \\
a_n^2 &=& \dfrac{1}{4n-3} \\
a_n &=& \dfrac{1}{\sqrt{4n-3}}
\end{array}
$$
$a_k =  \dfrac{1}{\sqrt{4k-3}} < 10^{-2} \Rightarrow 100 < \sqrt{4k-3} \Rightarrow 10003 < 4k \Rightarrow 2500 + \frac 34 < k $ olur. Yani verilen şartı sağlayan en küçük $k$ değeri $2501$ dir.

[geo]

Test mantığı ile hareket edeceğiz.
$a_1 = 1$, $a_2 = \dfrac 1{\sqrt 5}$, $a_3 = \dfrac 1{\sqrt 9}$, $a_4 = \dfrac 1{\sqrt {13}}, \dots$ şeklinde devam ediyor. Buradan genel terimi $a_n = \dfrac{1}{\sqrt {4n-3}}$ şeklinde bulduktan sonra, Çözüm 1'deki işlemleri yapacağız.