Tübitak Lise Takım Seçme 2015 Soru 7

[mehmetutku]

Tüm $x, y$ gerçel sayıları için, $$f(x^2)+4y^2f(y)=(f(x-y)+y^2)(f(x+y)+f(y))$$ koşulunu sağlayan bütün $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

(Fehmi Emre Kadan)

[MATSEVER 27]

$(0,-x)$ ve $(0,x)$ koyulursa $f(x)=f(-x)$ olur. $x=0$ koyup $f(y)=f(-y)$ kullanırsak $4y^2f(y)=2f(y).(f(y)+y^2)$ olur. $f(y)=0$ sabit fonksiyonu sağlar. $f(y) \neq 0$ için $y^2=f(y)$ olur. Sonuç olarak $f(x)=0,f(x)=x^2$ sağlar.

Ancak incelenmesi gereken bir şey daha vardır: Bazı $x$ ler için $f(x)=0$ bazıları için $f(x)=x^2$ olabilir. $f(u) \neq u^2$ olanlar için $f(x+2u)=f(x)$ olduğunu biliyoruz. $(0,x)$ ve $(0,x+2u)$ koyulursa $(x+u)f(x)=0$ elde edilir. $\forall x\ne -u$ için $f(x)=0$ elde edilir. $f(u)=0$ olduğundan ve baştaki bulgulardan $f(-u)=0$ olur. O halde her $u$ için $f(u)=0$ olmalıdır.

$f(x)=0, f(x)=x^2$ sağlar.