n defa n pozitif tam sayısı kullanılan dizi {Çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem: $n$ pozitif tam sayısının ardışık olarak $n$ defa yazılmasıyla oluşturulan $(1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,\ldots)$ dizisinin $2023$. terimi kaçtır?

[Lokman Gökçe]

Biraz cebir biraz kombinatorik fikirleri içeren bir sorudur.


Çözüm: $m$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $\dfrac{(m-1)m}{2}< n \leq \dfrac{m(m+1)}{2}$ iken genel terimi $a_n = m$ olan $(a_n)$ dizisi ile ilgileniyoruz.

Bu dizinin $2023$. terimini şöyle bulabiliriz: $\dfrac{(m-1)m}{2}< 2023 \implies m(m-1)<4046<4096=2^{12} \implies (m-1)^2 < 2^{12}$ ve $m \leq 64$.

$m = 64$ için $\dfrac{64\cdot 65}{2} =  2080 $ olup $ \dfrac{63\cdot 64}{2} < 2023 \leq \dfrac{64\cdot 65}{2}$ eşitsizliği sağlanır. O halde $a_{2023} = 64$ tür.
 

Not: Eğer $m=64$ için eşitsizlikler sağlanmasaydı, $m=63$ için kontrol ederdik.