Gönderen Konu: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 11  (Okunma sayısı 72 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3150
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 11
« : Haziran 10, 2021, 03:59:31 ös »
$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere, $9x^2 + 2y^2 -6xy - 10y $ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ -24 \qquad\textbf{b)}\ -25 \qquad\textbf{c)}\ -26 \qquad\textbf{d)}\ -27 \qquad\textbf{e)}\ -28$
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3150
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 11
« Yanıtla #1 : Haziran 10, 2021, 04:02:21 ös »
Yanıt: $\boxed{B}$

İfadeyi $(9x^2 - 6xy +y^2) + (y^2 - 10y + 25) - 25$ şeklinde düzenlersek $(3x-y)^2 + (y-5)^2 -25$ olup $y=5$ ve $x=\dfrac{5}{3}$ için minimum değer $-25$ elde edilir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 389
  • Karma: +7/-0
Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 11
« Yanıtla #2 : Haziran 10, 2021, 06:58:10 ös »
Farklı bir çözüm olarak,

$ax^2+bx+c$ ikinci dereceden polinomunun tepe noktasının apsisi $x=-\dfrac{b}{2a}$'dır. Ayrıca $a$ pozitifse bu nokta, polinomun en küçük değerini verir ($a$ negatifse de en büyük değerini verir). O halde $9x^2-6y\cdot x+\left ( 2y^2-10y\right )$ en küçük değerini $x=-\dfrac{-6y}{18}=\dfrac{y}{3}$ iken alır. Yerine koyarsak polinom $y^2-2y^2+2y^2-10y=y^2-10y$ olur. Yeniden ikinci dereceden polinom elde ettik. Bu polinom da en küçük değerini $y=-\dfrac{-10}{2}=5$ iken alır. Bu değer için sonuç $\boxed{-25}$ çıkar. Eşitlik durumu da $y=5$ ve $x=\dfrac{y}{3}=\dfrac{5}{3}$ olur.

Not: En basit mantıkla $9x^2+2y^2-6xy-10y\geq y^2-10y\geq -25$ olduğunu kullandık ki bu da Lokman hocamın çözümüne geliyor.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal