Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 11

[Lokman Gökçe]

$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere, $9x^2 + 2y^2 -6xy - 10y $ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ -24 \qquad\textbf{b)}\ -25 \qquad\textbf{c)}\ -26 \qquad\textbf{d)}\ -27 \qquad\textbf{e)}\ -28$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

İfadeyi $(9x^2 - 6xy +y^2) + (y^2 - 10y + 25) - 25$ şeklinde düzenlersek $(3x-y)^2 + (y-5)^2 -25$ olup $y=5$ ve $x=\dfrac{5}{3}$ için minimum değer $-25$ elde edilir.

[Metin Can Aydemir]

Farklı bir çözüm olarak,

$ax^2+bx+c$ ikinci dereceden polinomunun tepe noktasının apsisi $x=-\dfrac{b}{2a}$'dır. Ayrıca $a$ pozitifse bu nokta, polinomun en küçük değerini verir ($a$ negatifse de en büyük değerini verir). O halde $9x^2-6y\cdot x+\left ( 2y^2-10y\right )$ en küçük değerini $x=-\dfrac{-6y}{18}=\dfrac{y}{3}$ iken alır. Yerine koyarsak polinom $y^2-2y^2+2y^2-10y=y^2-10y$ olur. Yeniden ikinci dereceden polinom elde ettik. Bu polinom da en küçük değerini $y=-\dfrac{-10}{2}=5$ iken alır. Bu değer için sonuç $\boxed{-25}$ çıkar. Eşitlik durumu da $y=5$ ve $x=\dfrac{y}{3}=\dfrac{5}{3}$ olur.

Not: En basit mantıkla $9x^2+2y^2-6xy-10y\geq y^2-10y\geq -25$ olduğunu kullandık ki bu da Lokman hocamın çözümüne geliyor.