Cevap: $\boxed{E}$
Sayının $36$ ile bölünmesini incelemek yerine $4$ ve $9$'a bölümünden kalanları inceleyebiliriz. $4A3B=4030+100A+B$'dir. $$4030+100A+B\equiv 2+B\equiv 19 \equiv 3\pmod{4}\Longrightarrow B\equiv 1\pmod{4}$$ $$4030+100A+B\equiv 7+A+B\equiv 19\equiv 1\pmod{9}\Longrightarrow A+B\equiv 3\pmod{9}$$ elde edilir. $A$ ve $B$ rakam olduğundan $A+B\leq 18$'dir. Dolayısıyla $A+B=3$ veya $A+B=12$ olabilir. $B$, $4$'e bölündüğünde $1$ kalanı verdiğinden $1$, $5$ veya $9$ olabilir.
$B=1$ ise $A=2$ veya $A=11$ bulunur. $A$ bir rakam olduğundan $A=2$ olmalıdır.
$B=5$ ise $A+B=3$ olamayacağından $A+B=12$ olacaktır ve $A=7$ bulunur.
$B=9$ ise benzer şekilde $A=3$ bulunur.
$A$'nın alabileceği değerlerin toplamı $2+7+3=\boxed{12}$'dir.