Crux 1975 Problem 14 - Üçgen Eşitsizliği {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem 14: Bir üçgenin üç kenarının uzunlukları $a$, $b$, $c$ ise $\dfrac{1}{a+c}$, $\dfrac{1}{b+c}$, $\dfrac{1}{a+b}$ uzunluklarının da bir üçgen oluşturacağını gösteriniz.

[AtakanCİCEK]

$$\dfrac{1}{a+b}<\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}$$ olduğunu gösterirsek diğer eşitsizlikler simetriden dolayı doğrudur. Paydaları eşitleyelim.

$\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}=\dfrac{a+b+2c}{(a+c)\cdot(b+c)}=\dfrac{a+b+2c}{ab+ac+bc+c^2}$ olur bunu eşitsizlikte yerine koyarsak

$$(a+b+2c)\cdot(a+b)>(a+c)\cdot(b+c)$$ haline gelir.

Parantezleri açıp düzenlersek

$$a^2+ab+ac+bc+b^2>c^2$$ elde edilir.  Üçgen eşitsizliğinden $a+b>c$ olduğunu, dolayısıyla $c\cdot(a+b)=ac+ab>c^2$ olduğunu biliyoruz o halde

$$a^2+ab+ac+bc+b^2>ac+ab>c^2$$ bulunur.