p ve p^4 -5np^2 + 5m + 4 asal sayıları

[Lokman Gökçe]

Soru (Lokman Gökçe): $m,n$ birer pozitif tamsayı olmak üzere asal sayılar kümesinde tanımlı  $f(p)=p^4 - 5np^2 + 5m + 4 $ fonksiyonu veriliyor.

a. $f(2)$ ve $f(3)$ değerlerinin her ikisinin birden asal sayı olamayacağını gösteriniz.

b. $f(2)$ ve $f(5)$ değerlerinin her ikisinin birden asal sayı olmasını sağlayan tüm $(m,n)$ ikililerini belirleyiniz.

[Metin Can Aydemir]

$a)$ $f(2)= 20-20n+5m$, $f(3)=85-45n+5m$'dir. Yani ikisi de $5$'in katı. Dolayısıyla ikisi de $5$ olmalıdır. Eşitler ve düzenlersek, $$9n-m=16$$ $$4n-m=3$$ bulunur fakat buradan tamsayı çözümü gelmez. Dolayısıyla ikisi aynı anda asal olamaz.

$b)$ $f(5)=629-125n+5m=p$ olsun. $f(2)$'in $5$'e eşit olacağını biliyoruz buradan, $$4n-m=3$$ $$125n-5m=629-p$$ denklemleri bulunur. $m$'leri yok edersek $105n=614-p$ bulunur. $n\in \{1,2,3,4,5\}$ olabileceği görülebilir. Bu değerlere karşılık gelen $p$ değerleri $509,404,299,194,89$'dur. Bunlardan sadece $509$ ve $89$ asaldır. Dolayısıyla $n=1$ ve $n=5$ olabilir. Yerine yazarsak $(m,n)=(1,1),(17,5)$ çözümleri elde edilir.

[Lokman Gökçe]

Çözüm için Metonster'e teşekkürler.

Şimdi, bir asal sayı soru yazarken alt yapısında ne tür fikirler kullandığımı açıklamak istiyorum. Yukarıdaki soruya benzer biçimde $f(3)$ ve $f(5)$ değerlerinin beraber asal sayı olmasını isteyelim. Bunun için denklemler oluşturulursa $ (m,n) =(2,2), (20,4), (29,5), (38,6)$ biçiminde dört tane ikili elde ediliyor. Bunlardan $(m,n)=(29,5)$ için bir problem kurgulayıp çözelim.

Soru (Lokman GÖKÇE): $p^4-25p^2+149$ asal sayı olacak biçimde kaç $p$ asal sayısı vardır?

Çözüm: $p^4$ yapısından dolayı $5$ asal sayısı Fermat teoremi uygulayabileceğimizi hissedebiliriz.

O halde öncelikle $p=5$ için ifadenin değerini hesaplayalım: $625- 625 + 149 = 149$ asal sayısı elde edilir.

Şimdi de $p\neq 5$ olsun. $(p,5)=1$ olduğundan Fermat teoreminden $p^4 \equiv 1 \pmod{5}$ yazılır. Buna göre $p^4-25p^2+149 \equiv 1 - 0 + 4 \equiv 0 \pmod{5}$ olur. Yani bu sayı $5$ ile tam bölünüyor. Buradaki en büyük yanılgı $ p^4-25p^2+149 $ sayısı $5$ e tam bölündüğü için asal olmadığını düşünmektir. Halbuki $5$ ile tam bölünen bir asal sayı vardır: $5$ in kendisi! Yani bu aşamada $p^4-25p^2+149=5$ denklemini çözmeliyiz. $p^4-25p^2+144=0 \implies (p^2-9)(p^2-16)=0$ olur. $p\in \{ -4,-3, 3, 4\}$ elde edilir. $p$ asal sayı olduğundan $p=3$ çözümüne ulaşılır.

Dolayısıyla aranan tüm $p$ asal sayıları $3$ ve $5$ olup iki tanedir.