Gönderen Konu: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2016 Soru 14  (Okunma sayısı 1580 defa)

Çevrimdışı ArtOfMathSolving

  • G.O Efsane Üye
  • *******
  • İleti: 423
  • Karma: +4/-8
Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2016 Soru 14
« : Haziran 07, 2016, 06:34:51 ös »
$a+b+c+d+e = 0$ koşulunu sağlayan $a,b,c,d,e$ tam sayıları için $a^5+b^5+c^5+d^5+e^5$ ifadesi $15,18,21,30,35$ sayılarından kaçına her zaman bölünür?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad{b)}\ 2
\qquad{c)}\ 3
\qquad{d)}\ 4
\qquad{e)}\ 5
$

« Son Düzenleme: Haziran 02, 2021, 01:44:55 ös Gönderen: scarface »
Sıradan bir matematikçi...

Çevrimdışı KereMath

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 67
  • Karma: +2/-0
Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2016 Soru 14
« Yanıtla #1 : Haziran 08, 2016, 12:08:05 ös »
ilk olarak a=4 b=c=d=e=-1 değerine bakalım hesaplarsak 1020 olur.7 ve 9 a bölünmez bundan dolayı 18 21 ve 35 sağlamaz.
bize verilen ifadeye S diyelim şimdi fermat teoreminden S 5 modunda a+b+c+d+e ye denktir ve bu da 0 a eşit olduğundan ifade her zaman 5 e bölünür
S 2 modunda a+b+c+d+e  ye denktir ve bu da 0 olduğundan ifade her zaman 2 ile bölünür
S 3 modunda fermat teoreminden a+b+c+d+e ye denktir ve aynı şekilde bu da 0 olduğu için S 3 ile bölünür
bu verilere ortak bakıldığında S 2,3 ve 5 ile bölündüğü için 30 a da bölünür ve 30 a bölünen bir sayı 15 e de bölünür
Bundan dolayı 2 tanesine her zaman bölünür
Kerem Recep Gür

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3150
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2016 Soru 14
« Yanıtla #2 : Haziran 04, 2021, 06:26:16 ös »
Yanıt: $\boxed{B}$

$a=2$, $b=1$, $c=d=e=-1$ alırsak $a+b+c+d+e=0$ ve $T=a^5 +b^5+c^5+d^5+e^5=30$ olur. Böylece $18 \nmid T$, $21 \nmid T$, $35 \nmid T$ elde edilir. $a+b+c+d+e$ ile $T=a^5 +b^5+c^5+d^5+e^5$ sayılarının pariteleri aynı olduğundan $2\mid T$ dir. Test mantığı ile ve verilenlere göre $15\mid T$ olması gerektiğini anlarız. Çünkü $3\nmid T$ veya $5\nmid T$ olması durumunda $30\nmid T$ olurdu ve $T$ toplamı verilen sayıların hiçbirine bölünmezdi. O halde $2\mid T$ ve $15\mid T$ olup $30\mid T$ dir.

Ayrıca $3\mid T$ ve $5\mid T$ olduğu (yukarıdaki çözümde verildiği gibi) Fermat teoreminden kolayca kanıtlanabilir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal