Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2009 Soru 21

[ERhan ERdoğan]

Bir $ABC$ üçgeninde $D , [AC]$ nin orta noktası olmak üzere, $s\widehat{(DBC)}=15^\circ , s\widehat{(ACB)}=30^\circ$ olduğuna göre, $s\widehat{(BAC)}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 105^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 120^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 135^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 150^\circ
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[CİHAT]

$m(\widehat{BAC})=a$ olsun.

$m(\widehat{ABD})=135-a$ olur.

$\Delta ABD$ ve $\Delta CDB$ üçgenlerinde Sinüs Teoremi uygularsak,

$\dfrac{\sin a}{\sin(135-a)}=\dfrac{|BD|}{|AD|}=\dfrac{\sin30}{\sin15}$ olur.

$\dfrac{\sin30}{\sin15}$ kesri yarım açı formüllerinden $2\cdot \cos15$ çıkar.

$2\cdot \cos15=\dfrac{\sin75}{\sin30}=\dfrac{\sin105}{\sin150}$ olur.

Yukarıdaki eşitlikten $\dfrac{\sin105}{\sin150}=\dfrac{\sin a}{\sin(45+a)}$ dır.

O halde $a$ yerine kolay bir şekilde görebileceğimiz $105$ i denediğimizde

$\dfrac{\sin105}{\sin150}=\dfrac{\sin105}{\sin30}$ eşitliği doğru olduğundan $a=105$'tir.