Tübitak Lise 2. Aşama 2015 Soru 1

[Eray]

$m$ ve $n$ pozitif tamsayılar olmak üzere, $$k=\dfrac{(m+n)^2}{4m(m-n)^2+4}$$ sayısı bir tam sayı ise, $k$ nın bir tamkare olduğunu gösteriniz.

(Şahin Emrah)

[MATSEVER 27]

Belki faydası olur diye paylaşıyorum. Eğer tam çözen biri varsa ve paylaşırsa müteşekkir olurum.

Varsayalım ki $k$ bir tamkare olmasın. O halde $(a+1)^2 > k>a^2$  olacak şekilde $a$ pozitif tamsayısı bulunur.
$$(a+1)^2>\dfrac{(m+n)^2}{4m(m-n)^2+4}>a^2 \Rightarrow (2a+2)^2>\dfrac{(m+n)^2}{m(m-n)^2+1}>(2a)^2$$
elde edilir. Buradan çelişki elde etmek istiyoruz. Ayrıca biliyoruz ki $m(m-n)^2+1 \mid (m+n)^2 \Rightarrow m(m+n)^2-4m^2n+1 \mid (m+n)^2 \Rightarrow m(m-n)^2+1 \mid 4m^2n-1 \Rightarrow 4m^2n \ge m(m-n)^2+2$ ve $2 \mid m+n=2t$ biliyoruz. Düzenlersek;
$$ (a+1)^2>f(m,t)=\dfrac{t^2}{4m(m-t)^2+1}>a^2$$
ve $4m^2(2t-m) \ge 4m(m-t)^2+2 \rightarrow m^2(2t-m) \ge m(m-t)^2+0.5 $ olur. O halde eşitlik durumu sağlanamaz. $4m^2(2t-m) \ge 8m(m-t)^2+4 \Rightarrow m^2(2t-m) \ge 2m(m-t)^2+1 \Rightarrow m(2t-m)^2 \ge  4m(m-t)^2+1$ olur.

[Metin Can Aydemir]

Soruyu üç durumda inceleyelim.
$i)$ $m=n$ ise $k=m^2$ olur.

$ii)$ $m>n$ ise $m-n=x, ~m+n=y$ diyelim. $m=\dfrac{x+y}{2}$ ve $n=\dfrac{y-x}{2}$ olur.$4|(m+n)^2$ olduğundan $y$ çifttir.Dolayısıyla $x$ de çifttir. Yerine yazarsak, $$k=\dfrac{y^2}{2(x+y)x^2+4} \Rightarrow y^2-2kx^2y-(2kx^3+4k)=0$$ olur. Diskriminantı tamkare olmalı. $$\Delta = 4k^2x^4+8kx^3+16k=4t^2 \Rightarrow t^2=k^2x^4+2kx^3+4k$$ olur. $k\geq 1$ ve $x\geq 2$ olduğunu biliyoruz buradan, $$(kx^2+x+1)^2>k^2x^4+2kx^3+4k>(kx^2+x-1)^2$$ bulunur. $k^2x^4+2kx^3+4k=(kx^2+x)^2$ olmalı buradan $k=(\dfrac{x}{2})^2$ bulunur.

$iii)$ $m<n$ ise $n-m=x,~m+n=y$ diyelim.Aynı şekilde $x$ ve $y$'yi çift bulabiliriz. Yerine yazar ve düzenlersek, $$y^2-2kx^2y+2kx^3-4k=0\Rightarrow \Delta =4k^2x^4-8kx^3+16k=4t^2\Rightarrow t^2=k^2x^4-2kx^3+4k$$ olur. $$(kx^2-x+1)^2>k^2x^4-2kx^3+4k>(kx^2-x-1)^2\Rightarrow k^2x^4-2kx^3+4k=(kx^2-x)^2\Rightarrow k=(\dfrac{x}{2})^2$$ bulunur. Yani $k$ her zaman tamkaredir.