Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 15

[Eray]

$P(x)$ bir polinom olmak üzere, her $a$ gerçel sayısı için $P(a)=P(b)$ eşitliğini sağlayan $a$ dan farklı en az bir $b$ gerçel sayısı bulunuyorsa, $P(x)$ polinomuna $\textit{çok tersli}$ polinom diyelim. $P_{1}(x)=x^{2}-2020 x$, $P_{2}(x)=x^{3}-2020 x^{2}+x$, $P_{3}(x)=x^{4}-2020 x^{2}$ ve $P_{4}(x)=x^{5}-2020 x^{3}$ polinomlarmdan kaç tanesi çok terslidir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[Uygar ÖZTÜRK]

Yanıt: $\boxed{B}$

Bu çok tersli polinomlarda hiçbir görüntü tek bir elemanla eşleşmez. Dikkat edilmesi gereken yer bunun minimum/maksimum değer aldığı noktalar için de geçerli olduğudur o yüzden öncüllerde verilen parabol $P_{1}(x)$ verilen şartı sağlamaz. $P_{3}(x)$ çift fonksiyondur ve verilen şartı sağlar. $P_{2}(x)$ ve $P_{4}(x)$ ise grafiklerinde orijine soldan uzaklaştıkça aldığı değerler eksi sonsuza ıraksar, orijine sağdan uzaklaştıkça da artı sonsuza ıraksar. Verilen şartı sağlamadıkları açıktır.     
 

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Grafiksel yorumun yanında cebirsel bir bakış bakalım. Bizden istenilen, her $x$ için $x\neq y$ olacak şekilde $P_i(x)=P_i(y)$ denkleminin $y$ için çözümünün olmasıdır.

$P_1(x)$ polinomu için $$P_1(x)=P_1(y)\Rightarrow x^2-2020x=y^2-2020y\Rightarrow (x-y)(x+y-2020)=0\Rightarrow x+y=2020$$ olur. Yani her $x$ için $2020-x$ eşitliği sağlar fakat $x=1010$ için $x=y$ olur. Çelişki

$P_2(x)$ için $$\begin{array}{lcl}
x^3-2020x^2+x=y^3-2020y^2+y &\Rightarrow & (x-y)(x^2+xy+y^2-2020x-2020y+1)=0 \\ &\Rightarrow & y^2+y(x-2020)+(x^2-2020x+1)=0
\end{array}$$ bulunur. $x=2020$ için $y^2+1=0$ olur fakat bu denklemin çözümü yoktur. Dolayısıyla $x=2020$ için bir $y$ değeri bulamayız.

$P_3(x)$ için fonksiyon bir çift fonksiyon olduğundan $P_3(x)=P_3(-x)$'dir. Yani $y=-x$ için istenen durum sağlanır fakat $x=0$ durumunda $x=-x$ olacağından ayrı incelenmelidir. $$P(y)=P(0)\Rightarrow y^4-2020y^2=0$$ olur. $y=\sqrt{2020}$ istenilen durumu sağlar. Dolayısıyla her $x$ için $x$'den farklı bir $y$ değeri bulabiliriz.

$P_4(x)$ için fonksiyon $x$ sonsuza giderken sonsuza gittiğinden ve bir $x=a$ değerinden sonra fonksiyon sürekli artmalıdır. Fonksiyon sadece $x$ sonsuza giderken pozitif sonsuza yaklaştığından öyle bir $N>a$ değeri vardır ki her $x_0>N$ ve $N>x_1$ için $P_4(x_0)>P_4(N)>P_4(x_1)$ sağlanır. Eğer $P_4(x_0)=P_4(y)$ olacak şekilde $x_0$'dan farklı bir $y$ değeri varsa $y>N$ olmalıdır fakat $N>a$ olduğundan $x>N$ için fonksiyon artan olacağından $P_4(x_0)=P_4(y)$ olması için $x_0=y$ olması gerekir. Çelişki

Dolayısıyla sadece $P_3(x)$ polinomu çok terslidir.