Kısa Ve Umulmadık Çözümlü Sorular(Quickies)

[alpercay]

Başlık yeterince açık sanırım...
 x³ + x² + x + 1 = y³        diyofan denkleminin tamsayı çözümlerini bulunuz.

[osman211]

kafadan çözdüm bu soruyu tek sağlayan değerler x=0 ve y=1 dir çünkü ardışık iki tam küp arası tam küp olmaz

x³<x³+x²+x+1<(x+1)³  gördünüz gibi baska değer ler yok


//Edit denizmavisi : Üst simgeler düzeltildi.

[alpercay]

Bir çözüm daha var Osman.

[osman211]

pardon evet -1 ve 0 da var kalem kağır kullan madığım için 

[edizalturk]

.

[senior]

x²+2x =  y³   ==>   (x + 1)² =  y³ + 1 ==> x = kök(y³ + 1) - 1 olur.
Birinci terime -1 eklersek integralin sonuna da 1 eklersek, birinci terim ile ikinci terimin grafikleri orjine göre simetrik olur yani alanlar birbirini dikdörtgene tamamlar. x 0,2 aralığında, aynı zamanda y'de 0,2 aralığındadır. O zaman toplam alan 4 olur. İntegralin sonuna eklediğimiz 1'de  sadece dx'in [0,2] aralığındaki değeri olacağından 2 eder ve toplam istenilen alan 4+2=6 olur.

[edizalturk]

Hangi sayı tabanında 297 sayısı 792 sayısının bir bölenidir?

[senior]

sayı tabanı m olsun, 792 = 7m²+9m+2, 297 = 2m²+9m+7
792 - 297 = A = 5m² - 5
A - 297 = B = 3m² - 9m - 12
B - 297 = m² - 18m - 19 olur ve B = 0 olmalı çünkü daha fazla çıkaramayız.
B = (m+1)(m-19) = 0 ==> m = 19
Kontrol edersek, (792)₁₉ = 2700 = 3 x (297)₁₉

[edizalturk]

Daha farklı bir çözüm:

[edizalturk]

...

[alpercay]

M.S.Klamkin'den Sorular(Şubat 2004)
 1. Her  x için (x + 1)P(x)=xP(x-1)  ya da (x + 1)P(x)=xP(x+1) eşitliğini sağlayan tüm P(x) polinomlarını bulunuz.

 2. P(x) = x²ⁿ - 2x^2n-1 + 3x^2n-2-...-2nx + 2n+1 polinomunun reel köklerini bulunuz.

[edizalturk]

1. SORUYA ÇÖZÜM: ilkini çözelim. İkinci de benzer yolla çözülebilir.
x=0 , x=-1 , x=1 aldığımızda sırasıyla P(0)=P(-2)=P(1)=0 buluruz. Demek ki P(x)=Q(x)x(x+2)(x-1) dir.
Bunu soruda yazar ve sadeleştirmeleri yaparsak Q(x)(x+2)=Q(x-1)(x-2) elde ederiz. Bu eşitlikten
...=Q(-1)=Q(0)=Q(1)=0... olduğunu görürüz. Bu ancak Q(x) sabit polinomsa gerçekleşebilir. Bu durumda
soruda istenen tüm polinomlar P(x)=ax(x+2)(x-1) dir. (a reel sayı)
 

[Lokman Gökçe]

integral sorusunda f ve f^-1 grafikleri çizilirse integral ile verilen alanların birbirini bütünlediği somut olarak da görülebilir. ( bir arkadaşımız grafikleri de yollayabilirse daha hoş olabilir)

[senior]

soldan başlayarak 1.grafik hiç değiştirilmeden çizilen grafik,
2.grafik integralin 2.bileşeninin x yerine y konulduğu yani x=y'ye göre simetriğinin alındığı grafik
3.grafik 2.bileşenin ters halinin y ekseninde 1 aşağıya çekilmesiyle iki bileşenin üstüste gelerek dikdörtgen oluşturduğu grafiktir.

[edizalturk]

...