$(a,b)=d$ olsun. $a=dx$, $b=dy$ ve $(x,y)=1$ olacak şekilde $x,y \in \mathbb Z$ vardır.
Biz $(a+b,a-b)=d$ olmasını istiyoruz. $(a+b, a-b)=(d(x+y), d(x-y)) = d(x+y,x-y)$ olduğundan $(x+y,x-y) = 1$ olmasını istiyoruz. Tabii ki böyle bir şey her zaman olmayacaktır. Örneğin $x=3,y=1$ iken $(x+y,x-y)=(4,2)=2$ olmaktadır. Sadece $(x,y)=1$ olduğunu biliyoruz ve $x,y$ tam sayılarını $(x+y,x-y) = 1$ olacak biçimde dikkatlice seçmeliyiz.
Şu durumları inceleyelim:
$\bullet $ $x$ ve $y$ her ikisi de tek sayılar ise $x+y$, $x-y$ çift sayılar olup $(x+y,x-y) \neq 1$ dir.
$\bullet $ $x$ ve $y$ her ikisi de çift sayılar olamazlar, çünkü $(x,y)=1$ demiştik.
$\bullet $ Geriye kalan son durum $x$ ile $y$ den biri çift diğeri tek sayı olmalıdır.
Buradaki bağlantıda verilen eşitlikleri de kullanarak
$(x+y,x-y)=(x+y + (x-y), x-y)= (2x, x-y) = (x, x-y)$ yazabiliriz. ($2x$ deki $2$ çarpanını bir sonraki eşitlikte silebiliyoruz, çünkü $x-y$ tek sayıdır ve $2$ çarpanı içermez.) Ayrıca aynı bağlantıdaki eşitliklere göre $(x, x-y)=(x,y)=1$ dir. Böylece $(x+y,x-y)=1$ elde etmiş durumdayız.
Sonuç olarak $(a,b)=(a+b,a-b)$ olması için gerek ve yeter şart $x=\dfrac{a}{(a,b)}$ ve $y=\dfrac{b}{(a,b)}$ sayılarından birinin tek sayı, diğerinin çift sayı olmasıdır.
