Alan(ABC)=3.Alan(AIC) ispatı {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

$ABC$ üçgeninin iç teğet çember merkezi $I$, çevrel çember merkezi $O$ olmak üzere $m(\widehat{BIO})=90^\circ $ ise, $$Alan(ABC)=3\cdot Alan(AIC) $$ olduğunu ispatlayınız.

Kaynak: gogeometry.com sitesinde sunulan 1443 no'lu problem.

[Can Muharrem ÖZKAN]

$G$, $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi olsun. Bu bağlantıda $[IG] \parallel [AC]$ ise $m(\widehat{BIO})=90^\circ$ olduğu ispatlamıştır. Aynı ispata göre $m(\widehat{BIO})=90^\circ$ ise $[IG] \parallel [AC]$ olacağı da kolayca görülebilmektedir.


Bu durumda, $[IG]\parallel[AC]$ ise $a+c=2b$ 'dir. İç teğet çemberin merkezi $r$ olsun. $Alan(AIC)=\dfrac{r\cdot b}{2}$ ve $Alan(ABC)=r\cdot u=r \cdot \dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{r\cdot 3b}{2}$ dir. Böylelikle $Alan(ABC)=3Alan(AIC)$ eşitliği elde edilir.