Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 16

[matematikolimpiyati]

Başlangıçta bir masa üzerinde boş bir kırmızı ve boş bir beyaz kutu bulunuyor. Her işlemde ya kırmızı kutuya $2$ top ya beyaz kutuya $2$ top ya da kırmızı ve beyaz kutulara $1$'er top ekleniyor. $5$ işlem, işlemler sonucunda kutuların her birinde $5$ top bulunacak biçimde kaç farklı şekilde yapılabilir?

$\textbf{a)}\ 42  \qquad\textbf{b)}\ 45  \qquad\textbf{c)}\ 48  \qquad\textbf{d)}\ 51  \qquad\textbf{e)}\ 54$

[ygzgndgn]

Cevap D.

İşlemlerimizi gösterim kolaylığı için tanımlayalım.

İşlem 1: Kırmızıya 2 top.     (1)
İşlem 2: Beyaza 2 top.        (2)
İşlem 3: İkisine de 1 top.    (3)

Kutuların her birinde 5 top bulunması için uygulanabilecek işlemler (3)+(3)+(3)+(3)+(3), (3)+(3)+(3)+(1)+(2) ve (3)+(1)+(1)+(2)+(2) şeklindedir. Bu işlemlerin sıralanışı durumu etkileyeceğinden tekrarlı permütasyon uygulanır.

5!/5! + 5!/3! + 5!/2!2! = 1+20+30 = 51 farklı durum eder. Cevabımız elli birdir.

[vedatde]

Kırmızı  kutuya 2 top eklenen işlem sayısı $x_1 $,beyaz kutuya 2 top eklenen işlem sayısı $ x_2 $ ve
 kutulara 1' er top eklendiği işlem sayısı $x_3 $ olsun.
$ x_1+x_2+x_3=5 $
$ 2x_1+x_3=5 $
$ 2x_2+x_3=5 $
yazabiliriz.  Burada $ x_1=x_2 $ bulunur.
Tüm bunların çözümünden
$ x_1=x_2=0$ ve  $x_3=5 $
$ x_1=x_2=1$  ve  $x_3=3 $
$ x_1=x_2=2$  ve  $x_3=1 $ olmak üzere üç çözüm vardır.
$ ( x_1  ,x_2,x_3 )  $ üçlüsü $ (0,0,5)  ,(1,1,3)  ve  (2,2,1)  $ dir.
$ x_1$  sayısını a ile $x_2$  sayısını b  ile  ve $x_3$  sayısını c   ile temsil edelim.
$ (0,0,5)$  için ccccc nin farklı sıralanma sayısı$=5!/5!  =1$
$(1,1,3)$  için abccc nin farklı sıralanma sayısı$=5!/3!  =20 $
$ (2,2,1)$  için aabbc nin farklı sıralanma sayısı$=5!/(2!2!)  =30 $
olmak üzere $ 1+20+30=51$ farklı şekilde yerleştirme yapılabilir.