Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 25

[matematikolimpiyati]

Köşegenleri $E$ noktasında dik kesişen bir $ABCD$ kirişler dörtgeninde $B$ noktasından $AD$ doğrusuna inilen dikmenin ayağı $F$ olsun. $|BE|=4,\ |ED|=21$ ve $|FD|=15$ ise $|CD|$ nedir?

 $\textbf{a)}\ 24  \qquad\textbf{b)}\ 14\sqrt3  \qquad\textbf{c)}\ 15\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ 12\sqrt5  \qquad\textbf{e)}\ 35$

[alpercay]

Yanıt:$\boxed {C}$
$BF\cap AC={K}$ , $m(BCE)=\alpha$, $m(CBE)=\theta$   olsun.  $ABCD$ kirişler dörtgeninden dolayı aynı yayı gören çevre açılar eşit olduğundan $m(BDF)=\alpha, m(FBD)=\theta $ olur. Bu durumda $BKC$ üçgeni $BC=BK$ olacak şekilde ikizkenar üçgen olacağından $|EC|=|EK|=y$ diyelim ve  $BFD$ üçgeninde Pisagor teoreminden $|BF|=20$ olarak bulalım. $BEC$ ve $BFD$ üçgenleri açı-açı benzerlik teoremine göre benzer olduğundan $$\dfrac{4}{20}=\dfrac{y}{15}$$ $$y=3$$ olur. $CED$  üçgenine Pisagor teoremi uygulayarak $$x^2=3^2+21^2$$ $$x=15\sqrt{2}$$ bulunur.