Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 24

[matematikolimpiyati]

Başlangıçta $6$ öğrencide farklı sayılarda kalemler bulunmaktadır. Bu öğrencilerden her biri, kendi kalemlerinin tamamını diğer beş öğrencinin tamamı veya bir kısmı arasında paylaştırarak bu beş öğrencide eşit sayıda kalem bulunmasını sağlayabiliyor. Buna göre, bu $6$ öğrencinin toplam kalem sayısı en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 75  \qquad\textbf{b)}\ 80  \qquad\textbf{c)}\ 85  \qquad\textbf{d)}\ 90  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[vedatde]

Öğrencilerde farklı sayıda kalem vardır.
En az kalemi olan öğrencinin kalemi x olsun. Diğer öğrencilerin kalemleri küçükten büyüğe,
$x+x_1$,
$x+x_1+x_2$,
$x+x_1+x_2+x_3$,
$x+x_1+x_2+x_3+x_4$,
$x+x_1+x_2+x_3+x_4+x_5$ olur. Burada $x_i>0$ olmak üzere tamsayılardır.
Bir öğrenci tüm kalemlerini diğer öğrencilere verirse kalemlerin toplamı beş öğrencide
olacak ve her birinin kalemi de eşit olacak. Yani kalemlerin toplamı 5'e bölünmektedir.
$6x+5x_1+4x_2+3x_3+2x_4+x_5=5k$
$k\geq1$ ve tamsayı,
$x$ değerinin en küçük değeri;
kalemi en az olan öğrencinin,   en çok kalemi olan öğrenciye kalem vermeyip diğer 4  öğrenciye
kalem verdiği durumda oluşur.  Bu durumda diğer öğrencilere  en az 1 ,2 ,3 ,4 kalem vermek
zorundadır. (Kalem verdiği öğrencilerin kalem sayıları farklı olduğu için)
Yani $x\geq10$ ve kalemlerin toplamının en az olması için $x=10$ ve $i=1,2,3,4,5$ için  $x_i=1$ olmalı.
Sonuç olarak;
$6.10+15=75$ tane toplamı en az olan kalem vardır.
Bu durumda öğrencilerin kalem sayıları
Azdan çoğa;
10 , 11 , 12 , 13 , 14 ve 15 tanedir.
Örnek olarak 13 kalemi olan öğrenci
15 kalemi olan öğrenciye 0 tane  verir,
14 kalemi olan öğrenciye 1 tane  verir,
12 kalemi olan öğrenciye 3 tane  verir,
11 kalemi olan öğrenciye 4 tane  verir,
10 kalemi olan öğrenciye 5 tane  verir ve
kalemi alan öğrencilerin kalemleri 15'er tane olur.