Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 14

[matematikolimpiyati]

$2^n-1$ sayısının $385$ ile tam bölünmesini sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısının rakamları toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 9$

[taftazani44]

\begin{array}{lcl} 2^{n} &\equiv& 1 \pmod {385}\\
2^{n} &\equiv& 1 \pmod {5.7.11}
\end{array}

\begin{aligned}2^{10}\equiv 1nod11\\ 2^{3}\equiv 1mod7\\ 2^{4}\equiv 1mod5\end{aligned}
\begin{aligned}\left( 2^{10}\right) ^{6}\equiv 1mod11\\ \left( 2^{3}\right) ^{20}\equiv 1mod7\\ \left( 2^{4}\right) ^{15}\equiv 1mod5\end{aligned}
$2^{60}\equiv 1      mod(11\cdot 7\cdot 5)$
\begin{aligned}n=60\Rightarrow \\ 6+0=6\end{aligned}