Çözüm (Lokman Gökçe):
Kullanılan üç farklı rakam $a,b,c$ olsun. Bu rakamların hepsi birden çift olursa üç basamaklı tek sayı üretemeyiz. Dolayısıyla bunların $16$ ile bölümünden $\{ 1,3,5,7,9, 11, 13, 15 \}$ kalanları elde edilemez. Benzer şekilde, bu sayıların hepsi birden tek sayı olursa üç basamaklı çift sayı üretemeyiz. Bu halde, bu tek sayıların $16$ ile bölümünden $\{ 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 \}$ kalanları elde edilemez. O halde $a,b,c$ rakamlarından ya ikisi çift biri tek, ya da ikisi tek biri çift olmalıdır.
İlk olarak $a,b,c$ rakamlarından ikisi çift, biri tek olsun. $a,b$ çift ve $c$ tek kabul edelim. $c$ tek rakamı ile biten $9$ tane üç basamaklı sayı yazılabilir. Bunlar $aac, abc, acc, bac, bbc, bcc, cac, cbc, ccc$ dir. Bu tek sayılardan $8$ tanesini, $16$ ile bölümden kalanları $\{ 1,3,5,7,9, 11, 13, 15 \}$ kümesini oluşturacak biçimde seçmeliyiz. $ aac, abc, acc, bac, bbc, bcc, cac, cbc, ccc $ sayılarının $\mod 16$ daki değerleri sırasıyla
$$ -2a+c, 4a+10b +c, 4a-5c, 4b+10a+c, -2b+c, 4b-5c, 5c+10a, 5c+10b,-c $$
olur. Bu kalanlardan $8$ tanesini alıp $4$ tanesi $A=\{ 1, 5, 9, 13 \} = 4n+1$ kalan kümesine, $4$ tanesini de $B=\{ 3, 7, 11, 15 \} = 4n+3$ kalan kümesine yerleştirmeliyiz. Fakat bu $9$ tane kalandan en az $6$ tanesi için
$ -2a+c \equiv 4a+10b +c \equiv 4b+10a+c \equiv -2b +c \equiv 5c +10a \equiv 5c+10b \pmod{4}$ olup aynı kümeye (örneğin $A$'ya) düşerler. Geri kalanlardan en çok $9-6=3$ tanesi de $B$ kümesine düşer. Bu ise $B$ kümesinin $4$ elemanlı olarak üretilemediğini gösterir. Çelişki.
Şimdi de $a,b,c$ rakamlarından ikisi tek, biri çift olsun. $a,b$ tek ve $c$ çift kabul edelim. $c$ çift rakamı ile biten $9$ tane üç basamaklı sayı yazılabilir. Bunlar $aac, abc, acc, bac, bbc, bcc, cac, cbc, ccc$ dir. Bu çift sayılardan $8$ tanesini, $16$ ile bölümden kalanları $\{ 0,2,4,6,8, 10, 12, 14 \}$ kümesini oluşturacak biçimde seçmeliyiz. $ aac, abc, acc, bac, bbc, bcc, cac, cbc, ccc $ sayılarının $\mod 16$ daki değerleri sırasıyla
$$ -2a+c, 4a+10b +c, 4a-5c, 4b+10a+c, -2b+c, 4b-5c, 5c+10a, 5c+10b,-c $$
olur. Bu kalanlardan $8$ tanesini alıp $4$ tanesi $C=\{ 0, 4, 8, 12 \} = 4n$ kalan kümesine, $4$ tanesini de $D=\{ 2, 6, 10, 14 \} = 4n+2$ kalan kümesine yerleştirmeliyiz. Fakat bu $9$ tane kalandan en az $6$ tanesi için
$ -2a+c \equiv 4a+10b +c \equiv 4b+10a+c \equiv -2b +c \equiv 5c +10a \equiv 5c+10b \pmod{4}$ olup aynı kümeye (örneğin $C$'ya) düşerler. Geri kalanlardan en çok $9-6=3$ tanesi de $D$ kümesine düşer. Bu ise $D$ kümesinin $4$ elemanlı olarak üretilemediğini gösterir. Çelişki.
Sonuç olarak istenen özellikte $16$ tane sayı yoktur.
