Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 32

[Lokman Gökçe]

Başlangıçta tahtada Aslı ve Berk'e ait olmak üzere beşer sayı bulunuyor. Oyunun her hamlesinde sayılarının toplamı daha büyük olan öğrenci kendi sayılarından birini siliyor. Toplamların eşit olması durumunda sayı silme sırası Berk'e veriliyor. Kendi sayılarının tümünü ilk silen öğrenci oyunu kazanıyor. Oyun, Aslı ve Berk'in sayıları sırasıyla $(1,3,5,7,9)$ ve $(2,4,6,8,10)$; $(1,2,5,9,10)$ ve $(1,3,4,8,9)$; $(1,2,5,9,10)$ ve $(1,4,5,7,9)$; $(2,4,5,8,10)$ ve $(1,4,5,7,9)$ olarak birer kez oynanırsa, Aslı bu oyunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ 0
$

[Egemen]

(Egemen Erbayat)

Cevap: $\boxed B$

Her iki tarafta garantileyebilmek için sayıları küçükten büyüğe silmelidir.(Küçükten büyüğe $x$ sayı sildiğinde toplam $a_x$, farklı sırayla $x$ sayı sildiğinde toplam $b_x \Rightarrow a_x\ge b_x$ ama biz daha fazla sayı silebilmek için toplamın büyük olmasını istiyoruz.)

Aslı'nın en büyük sayısına $s_a$, Berk'in en büyük sayısına $s_b$ diyelim.

 $s_a>s_b$ ve Berk kazanır $\Rightarrow$ Aslı'nın kalan sayıları toplamı$<s_b$ olmalıdır. $x_a+s_a<s_b$ olmalıdır çelişki çıkar. O halde $s_a>s_b \Rightarrow$ Aslı kazanır.

 $s_a\le s_b$ ve Aslı kazanır $\Rightarrow$ Berk'in kalan sayıları toplamı$\le s_a$ olmalıdır. $x_b+s_b\le s_a$ olmalıdır çelişki çıkar. O halde $s_a\le s_b \Rightarrow$ Berk kazanır.

$(1,2,5,9,10)$ ve $(1,3,4,8,9)$; $(1,2,5,9,10)$ ve $(1,4,5,7,9)$; $(2,4,5,8,10)$ ve $(1,4,5,7,9)$ durumlarında $s_a>s_b$ olduğu için Aslı kazanır.