Fermat'nın Son Teoreminin Bir Uygulaması

[Lokman Gökçe]

Konu başlığına bakarak şaka yaptığımız düşünülmesin. Gerçekten Fermat'nın Son Teoremi'ni bir problem çözümünde uygulayacağız.

Problem: Her n > 1 tamsayısı için 2^1/n sayısı irrasyoneldir, gösteriniz.

Çözüm: n = 2 için kök(2) nin irrasyonel olduğunu Euclid ispatlamıştı. n > 2 olsun. (p, q) = 1 olmak üzere 2^1/n = p/q olduğunu kabul edelim. pⁿ = 2qⁿ olup  pⁿ =  qⁿ + qⁿ yazılır. Bu ise Fermat'nın son teoremine göre mümkün değildir (Andrew Wiles ispatlamıştı) Tümevarım prensibi gereğince her n > 1 için 2^1/n sayısı irrasyoneldir.

Son teorem'in kullanışsız olduğu söylenir, işte uygulamasını yaptık

bu kadar şaka yeterli diyenler için şunu soralım:

- peki son teorem'i kullanmadan yukarıdaki probleme bir çözüm verebilir misiniz?

bu kadar şaka yetmez, işi biraz daha sulandıralım diyenler için de şunu soralım:

- Son teorem ile ilgili başka bir uygulama problemi verebilir misiniz?

[Beyşehirli]

Son teorem kullanılmadan yapılan bir çözüm:
pⁿ = 2qⁿ eşitliğinde sağ taraf çift olduğu için sol tarafın da çift olması gerekir o halde p = 2a dır. Şimdi denklem 2^n-1aⁿ = qⁿ haline geldi. Aynı mantıkla q nun da çift olması gerekir . Hem p hem de q çift oldu, bu da (p,q) = 1 olması ile çelişir

[alpercay]

Verilen denklemin pozitif tamsayı çözümlerini bulunuz:

$$ x^3-15x^2+75x +27y^3 = 341$$

[alpercay]

Denklemi $(x-5)^3+(3y)^3=6^3$ olarak yazabiliriz. Fermat'ın son teoremine göre $x-5\le0$ ve $y\le0$ olacağından biricik pozitif çözüm $x=5$ ve $y=2$ olur.

[AtakanCİCEK]

$2013$ Çin Matematik Olimpiyatı $2.$ Aşama sınavı'ndan  bir soru daha  örnek verilebilir. (Çin Matematik olimpiyatlarında sanırım bu tarz teoremlerin kullanımı yasak ama burada kullanabiliriz   )

Herhangi bir $n$ pozitif tam sayısı için  $$(x+y)^n+(y+z)^n=(x+z)^n$$  eşitliğini sağlayan $x,y,z$  tek tam sayılarının bulunamayacağını gösteriniz.

İspat:

$n>2$ için Fermat'ın Son Teoremi gereğince  genelliği bozmadan $x+y=0$ alabiliriz. $x=-y$  yazalım. $$(y+z)^n=(-y+z)^n$$ $n$ tek ise $y+z=-y+z$ yani $y=0$ olur. Çelişki. $n$ çift ise $y+z=-y+z$ veya $y+z=y-z$ olmalıdır.  $1.$ durumda $y=0$  çelişkisi , $2.$ durumda $x=0$ çelişkisi geliyor.

$n=1$  olsun.  $x+2y+z=x+z$  yani $y=0$  elde edilir. $0$  çift sayı olduğu için çelişki elde edilir.

$n=2$ olmalıdır. Bu durumda $$(x+y)^2+(y+z)^2=(x+z)^2$$ elde edilir.

https://geomania.org/forum/index.php?topic=9594.0

Bu linkteki parametrizasyonların yardımıyla $k.(m^2-n^2),k.2mn,k.(m^2+n^2)$ , $(m,n)=1$  , $m\not \equiv n \pmod 2$ olduğunu biliyoruz. Genelliği bozmadan $x+y=k.(m^2-n^2)$ ve $y+z=k.2mn$ , $x+z=k.(m^2+n^2)$ alalım. Bu durumda  $k.(m^2-n^2+2mn)=x+z+2y$  yani $2y=k.(m^2-n^2+2mn)=k.(m^2+n^2)+2y$ yani $y=k.(-n^2+mn)$ gelir.

$x=k.(m^2-n^2+n^2-mn)$ yani $x=k.(m^2-mn)$ olur.  $y$ nin tek sayı olabilmesi için $k$  tek , $n$  tek  , $m$  çift sayı olmalıdır. Bu nedenle  $x=k.m.(m-n)$  çift sayı olmuş olur. Çelişki elde edilir.