Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2018 => Konuyu başlatan: Metin Can Aydemir - Eylül 22, 2019, 09:43:06 ös
-
$\dfrac{n^{10}+n^9+\cdots+n^2+n+1}{n+10}$ ifadesini tamsayı yapan en büyük $n$ tamsayısı için, $\dfrac{n}{9}$ sayının, $9$'a bölümünden kalan kaçtır?
$\textbf{a)}\ 7 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 0 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 4$
-
Cevap:$\boxed{E}$
bir $P(x)$ polinomunun $x-a$ ya bölümünden kalan $P(a)$'dır. Dolayısıyla $n^{10}+n^9+\cdots+n^2+n+1$ polinomunun $n+10$ ile bölümünden kalan $(-10)^{10}+(-10)^9+\cdots+(-10)^2+(-10)+1$ olur. Bu ifadeyi düzenlersek, kalan $\dfrac{(-10)^{11}-1}{(-10)-1}=\dfrac{10^{11}+1}{11}$ bulunur. $Q(x)$ bir tamsayı katsayılı bir polinom olmak üzere, $$\dfrac{n^{10}+n^9+\cdots+n^2+n+1}{n+10}=Q(n)+\dfrac{\dfrac{10^{11}+1}{11}}{n+10}$$ olur. $\dfrac{10^{11}+1}{11}$ sayısının en büyük böleni kendisidir. Dolayısıyla $n$'nin alabileceği en büyük değer, $n=\dfrac{10^{11}+1}{11}-10$ bulunur. Şimdi bu ifadenin $81$'e bölümünden kalana bakalım, $$\dfrac{10^{11}+1}{11}-10\equiv \dfrac{(9+1)^{11}+1}{11}-10\equiv \dfrac{9^{11}+9^{10}\dbinom{11}{1}+\cdots+9^2\dbinom{11}{9}+9\dbinom{11}{10}+1+1}{11}-10\pmod{81}$$ $$\Rightarrow \dfrac{10^{11}+1}{11}-10 \equiv \dfrac{101}{11}-10\equiv \dfrac{-9}{11}\pmod{81}$$ bulunur. Her tarafı $9$'a bölersek, $$\dfrac{n}{9}\equiv \dfrac{-1}{11}\equiv \dfrac{44}{11}\equiv 4\pmod{9}$$ bulunur.