Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2019 Soru 31

[ERhan ERdoğan]

$a_1(a_{1}-4) +a_2(a_{2}-4) + \cdots + a_{24}(a_{24}-4) = -95$ eşitliğini sağlayan kaç farklı $(a_1, a_2, \ldots, a_{24})$ tam sayı $24$-lüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 24 \qquad\textbf{b)}\ 36 \qquad\textbf{c)}\ 48 \qquad\textbf{d)}\ 60 \qquad\textbf{e)}\ 72 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$n=1,2,\dots, 24$ için $a_n^2 -4a_n = (a_n - 2)^2 - 4$ yazarak tam kareye tamamlayalım. Verilen denklem $$ (a_1 - 2)^2 + (a_2 - 2)^2 + \cdots + (a_{24} - 2)^2 = - 95 + 24\cdot 4 = 1 $$ olur. Bu halde tam karelerden birisi $1$'e eşit ve diğerleri $0$'a eşit olmalıdır. Örneğin $(a_1 - 2)^2 =1$ durumunda $a_1=3$ veya $a_1=1$ dir. Diğer değerler ise $a_2=a_3=\cdots=a_{24}=0$ olur. Böylece her bir tam kareyi $1$'e eşitleyerek $2$ çözüm bulunabildiğinden toplam $2\cdot 24 = 48$ tane çözüm elde edilir.