Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2019 Soru 04

[Lokman Gökçe]

Her bir basamağındaki rakam $1$, $2$ veya $3$ olan ve $3$ ile tam bölünen kaç tane $10$ basamaklı pozitif tam sayı vardır?

$ \textbf{a)}\ 3\cdot 2^{10} \qquad\textbf{b)}\ 3\cdot 2^{11} \qquad\textbf{c)}\ 3^{9}- 2^9 \qquad\textbf{d)}\ 2\cdot 3^{9} \qquad\textbf{e)}\ 3^9 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

Birler basamağı hariç tüm basamaklar için $1,2,3$ rakamlarından birini keyfi olarak seçebiliriz. Birler basamağı hariç her bir basamağı $3$ farklı yolla belirleyebiliyoruz. Çarpma prensibiyle $3^9$ elde edilir. Bu basamaklardaki rakamların toplamının $3k$, $3k+1$ ya da $3k+2$ oluşuna göre birler basamağını da sırasıyla $3$, $2$ ya da $1$ olarak tek türlü seçebiliriz. Böylece tüm rakamların toplamı $3$'ün katı olup sayı $3$ ile tam bölünebilir. Sonuç olarak istenen özellikte $3^9 \cdot 1 = 3^9 $ tane sayı yazılabilir.