Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1999 Soru 2

[ERhan ERdoğan]

$n\geq 2$ sabit bir tam sayı olsun.

• Aşağıdaki eşitsizliği, her $x_1, x_2,\dots, x_n \geq 0$ gerçel sayılarını için sağlayan en küçük $C$ sabitini bulunuz.
  $$\sum\limits_{1\leq i < j \leq n} x_ix_j(x_i^2+x_j^2) \leq C\left(\sum\limits_{1 \leq i \leq n} x_i \right)^4$$
• Bu $C$ sabiti için, eşitliğin hangi durumda sağlandığını belirleyiniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\left(\sum_{cyc}{x_1}\right)^4=\left(\sum_{cyc}{x_1^2}+2\sum_{1\leq i<j\leq n}{x_ix_j}\right)^2\overbrace{\geq}^{AGO} \left(2\sqrt{2\left(\sum_{cyc}{x_1^2}\right)\left(\sum_{1\leq i<j\leq n}{x_ix_j}\right)}\right)^2$$
$$=8\left(\sum_{cyc}{x_1}\right)\left(\sum_{1\leq i<j\leq n}{x_ix_j}\right)\geq 8\sum_{1\leq i< j\leq n}{x_ix_j\left(x_i^2+x_j^2\right)}$$
Bundan dolayı $C\geq \dfrac{1}{8}$ elde ederiz. Çift satırlık ispatın son kısmında $\sum\limits_{cyc}{x_1^2} \geq \sum\limits_{1\leq i<j\leq n}{x_i^2+x_j^2}$ yani $n\geq 2$
olduğunu kullandık.

Eşitlik durumunda ise $\sum\limits_{cyc}{x_1^2} \geq \sum\limits_{1\leq i<j\leq n}{x_i^2+x_j^2}$ olduğundan $n-2$ tane $x_i$ sıfıra eşit olmalıdır.