Matris Kuvveti {Çözüldü}

[senior]

.

[alpercay]

Aklımda kaldığı kadarıyla   Q  matrisinin karakteristik polinomunu hesaplayarak çözüme gidiliyordu; yani  det(X.I - Q) = x³- x²- x +1.   P(Q) = 0  olacağından  burdan  hareketle    ardışık  yerine koymalarla  Q kuvvetleri  elde  edilebiliyor.İşlem  yapmaktan  sıkıldığım   için  devam  etmedim.Bir de  köşegenleştirme diye bir  yöntem vardı  ama  pek hatırlayamadım o  yöntemi.Eski notlara  bakmak lazım.Belki  daha kolay bir yolu da  vardır.Bilgisayar  yardımıyla  Q⁷⁵    matrisi   

                                                                           0    1    0
                                                                            1    0   0
                                                                           38   37  1

[senior]

Evet hocam, aslında köşegenleştirme metodu bu tür kuvvet problemlerininde sıkça uygulanır. Ama matrisin özelliklerinden biraz faydalanılarak şöyle de çözülebilir:
u_i Q'yu oluşturan (3x1) vektörler olsun.
[u₁  u₂  u₃] Q = [u₂+u₃  u₁   u₃]  -->
n = 2 -->     Q² = [u₂+u₃    u₁        u₃]
n = 3 -->     Q³ = [u₁+u₃    u₂+u₃  u₃]
n = 4 -->     Q⁴ = [u₂+2u₃  u₁+u₃  u₃]
...
n=2k+1 --> Qⁿ = [u₁+ku₃  u₂+ku₃  u₃]

n=75 --> u₁+ku₃ = [ 0 1 1 ]^T + 37 [0 0 1]^T = [0 1 38]^T
u₂+ku₃ = [ 1 0 0 ]^T + 37 [0 0 1]^T = [1 0 37]^T

|  0    1    0 |
|  1    0    0 |  = Q⁷⁵
|  38 37   1 |