soru3:
n'inci öğrenciyi on harfiyle, n'inci soruyu Sn kümesi ile gösterelim.Sn kümesinin elemanları n'inci soruyu çözen öğrenciler olsun. Soruda verilene göre her bir Sn kümesi 4 elemanlı ve her Sa kümesiyle Sb kümesinin kesişimi bir elemanlıdır (a eşit değil b).
Hipotez: Her öğrenci en fazla 4 soru çözebilir.
İspat: Bir o1 öğrencisi S1,S2,S3,S4 ve S5 sorularını çözmüş olsun. Hiçbir öğrenci tüm soruları çözmediğine göre o1 elemanını içermeyen bir S6 kümesi bulunmalı ve S6 kümesinin Sn|n=1,2,..,5 kümelerinden her biriyle kesişimi bir elemanlı olmalıdır. İlk 5 kümede o1 oyuncusu ortak olduğuna göre de bu 5 kümenin herhangi ikisinin
o1'den başka ortak elemanı yoktur. Bu nedenle de S6 kümesinin Sn|n=1,2,..,5 kümelerinden her biriyle ortak elemanı farklıdır. Bu koşulları sağlayan S6 kümesi en az 5 elemanlı olur ki tam olarak 4 elemanlı olmalıdır. Dolayısıyla hiçbir öğrenci 5 soru çözemez.
Sorunun çözümüne dönelim.
S1={o1,o2,o3,o4} olsun. Hipoteze göre o1 elemanını içeren en fazla 3 küme daha oluşturulabilir. Benzer şekilde o2,o3,o4 elemanlarını içeren en fazla üçer küme bulunur ve bu durumda en fazla 13 küme oluşur.o1,o2,o3 veya o4'ü bulundurmayan bir kümenin S1 ile kesişimi boş küme olacağından verilen şartı sağlamaz.
13 soru için çözüm:
S1={o1,o2,o3,o4} S5={o2,o5,o8,o11} S8={o3,o5,o9,o13} S11={o4,o5,o10,o12}
S2={o1,o5,o6,o7} S6={o2,o6,o9,o12} S9={o3,o6,o10,o11} S12={o4,o6,o8,o13}
S3={o1,o8,o9,o10} S7={o2,o7,o10,o13} S10={o3,o7,o8,o12} S13={o4,o7,o9,o11}
S4={o1,o11,o12,o13}
İletiyi düzenle
Kaynak: Ferhat GÖLBOL,
http://geomania.org/forum/fantezi-cebir/ilkogretim-2010-2-asama/
