$1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ olduğundan denklemi düzenlersek, $$8(1^2+2^2+\cdots+n^2)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)=9(x_1+2x_2+\cdots+nx_n)^2$$ elde edilir. $i\leq x_i\leq 2i$ olduğundan $(x_i-i)(x_i-2i)\leq 0$ olur. Yani $x_i^2+2i^2\leq 3ix_i$ olur. $i=1,2,\dots,n$ için $$\sum_{i=1}^{n}x_i^2+2\sum_{i=1}^{n}i^2\leq 3\sum_{i=1}^{n} ix_i$$ AGO eşitsizliğinden, $$3\sum_{i=1}^{n} ix_i\geq \sum_{i=1}^{n}x_i^2+2\sum_{i=1}^{n}i^2\geq 2\sqrt{2\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}i^2\right)}$$ $$\implies 9\left(\sum_{i=1}^{n} ix_i\right)^2\geq 8\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}i^2\right)$$ olur. Eşitlik durumu için $(x_i-i)(x_i-2i)=0$ ve $\sum_{i=1}^{n}x_i^2=2\sum_{i=1}^{n}i^2$ olmalıdır. $x_i$'ler arasında $i$'yi kullandıklarımız $x_{s(j)}$'ler, $2i$'yi kullandıklarımız $x_{r(k)}$'ler olsun. Bu durumda $$\sum_{i=1}^{n}x_i^2=\sum s^2(j)+4\sum r^2(k)=\sum_{i=1}^{n} i^2+3\sum r^2(k)\implies 3\sum r^2(k)=\sum_{i=1}^{n} i^2$$ $$\sum r^2(k)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{18}$$ Eğer $n(n+1)(2n+1)\equiv 0\pmod{18}$ denkliğini incelersek (aslında $\pmod{9}$'da incelememiz yeterlidir çünkü bu ifade her zaman çifttir), $$n\equiv 0,4,8\pmod{9}$$ bulunur.
$n=4$ için $\sum r^2(k)=10=1^2+3^2$ olur. Yani $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(2,2,6,4)$ sağlar.
$n=8$ için $\sum r^2(k)=68=2^2+8^2$ olur. Yani $(x_1,x_2,\dots,x_8)=(1,4,3,4,5,6,7,16)$ istenileni sağlar.
$n=9$ için $\sum r^2(k)=95=1^2+2^2+3^2+9^2$ olur. Yani $(x_1,x_2,\dots,x_9)=(2,4,6,4,5,6,7,8,18)$ istenileni sağlar.
$n=13$ için $\sum r^2(k)=273=2^2+10^2+13^2$ olur. Yani $(x_1,x_2,\dots,x_{13})=(1,4,3,4,5,6,7,8,9,20,11,12,26)$ olur. Şimdi ise $n$ sağlıyorsa $n+9$'un da sağladığını göstermeliyiz.
$n$ için $\sum^{n} r^2(k)=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_m^2$ olsun ($1\leq a_1<a_2<\cdots <a_m\leq n$). Şimdi $\sum^{n+9} r^2(k)-\sum^{n} r^2(k)$ değerini $n+1,n+2,\dots,n+9$ kullanarak tamkarelerin toplamı olarak yazmaya çalışalım. Böylece $n+9$ için hangi sayıları $2i$ seçmemiz gerektiğini bulmuş oluruz. $$\sum^{n+9} r^2(k)-\sum^{n}r^2(k)=\frac{(n+9)(n+10)(2n+19)}{18}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{18}=3n^2+30n+95$$ $$=(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+(n+9)^2-n^2$$ olur. Yani $n$ için $r(k)$'lar arasından $n$'yi çıkartıp $n+1,n+2,n+3,n+9$ eklersek $n+9$ için hangi sayıları $2i$ seçmemiz gerektiğini bulmuş oluruz. Fakat bunun için $r(k)$'lar arasında $n$'yi kullanmış olmak gerekir ki $n=8,9,13$ için kullandığımızdan ve tümevarım sonucu $n+9$'da da $(n+9)$'u kullanacağımızdan bu işlemi $n+9$ için de uygulayarak sonsuza kadar gidebiliriz. Yani $n\geq 8$ ve $n\equiv 0,4,8\pmod{9}$ için tümevarımdan dolayı verilen eşitliği sağlayan $x_i$'ler vardır. $n=4$'ü de ayrıca gösterdiğimizden kısaca $$\boxed{n\equiv 0,4,8\pmod{9}}$$ olan tüm pozitif tamsayılar için eşitliği sağlayan $x_i$ sayıları vardır diyebiliriz.
