$2)$
$(1+\dfrac{a}{b}).(1+\dfrac{b}{c}).(1+\dfrac{c}{a})\ge 8 $ eşitsizliğini göstermek için;
$x,y,z\in R^+$ için
$x=1+\dfrac{a}{b},y=1+\dfrac{b}{c},z=1+\dfrac{c}{a}$ dönüşümlerini yapalım.
Dikkat edilirse $(x-1).(y-1).(z-1)=1$ olarak bulunur. Bu bilgiden yararlanarak $xyz\ge 8 $ olduğunu gösterelim.
$3$ değişkenli ifadelerdeki lagrange çarpanları teoremini kullanalım.
$xyz$ ifadesinin minimum değeri için olan $x$ ,$y$ ve $z$ değerleri
$f(x,y,z)=xyz$ , $g(x,y,z)=(x-1).(y-1).(z-1)-1$ olmak üzere
$$h(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda . g(x,y,z)$$ denkleminin kısmi türevlerinin değerini $0$ yapan denklemlerin köküdür.
$h_x=yz+\lambda .(y-1).(z-1)=0$
$h_y=xz+\lambda . (x-1).(z-1)=0$
$h_z=xy+\lambda . (x-1).(y-1)=0$
$h_\lambda=(x-1).(y-1).(z-1)-1=0$ denklem sistemini çözmeliyiz.
$4.$ eşitliği kullanarak denklem sistemini düzenleyelim.
$yz=-\lambda.\dfrac{1}{x-1}$
$xz=-\lambda.\dfrac{1}{y-1}$
$xy=-\lambda.\dfrac{1}{z-1}$ olur. $1$ ve $2$ ve $3$ nolu denklemlerden $\lambda$ çekilip eşitlenirse
$$(x-1).yz=(y-1).xz=(z-1).xy$$ bulunur.
Pozitif reel sayılarda olduğu bilgisini kullanarak
$(x-1).y=(y-1).x$ $xy-y=xy-x$, $x=y$ bulunur. Benzer şekilde $x=z$ bulunur. O halde $x=y=z$ olmalıdır. $4.$ denklemde yerine koyarsak $(x-1)^3=1$ yani $x=y=z=2$ için minimumu alır.
$xyz\ge8$ bulunur.