Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2018 Soru 3

[Arman]

Çevrel çember merkezi $O$ olan dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $AO$ doğrusuna dik olan bir doğru $[AC]$ ve $[AB]$ kenarlarını, sırasıyla $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $[BC]$ kenarı üzerinde $AO$ nun $BC$ yi kestiği noktadan farklı bir $K$ noktası alınıyor. $AK$ doğrusu $ADE$ üçgeninin çevrel çemberini $A$ dan farklı bir $L$ noktasında kesiyor. $A$ noktasının $DE$ doğrusuna göre simetriği $M$ olmak üzere $K$,$L$,$M$,$O$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

[Arman]

$AO$ doğrusunun çemberi $A$ dışında kestiği noktaya $T,$

$ED$ ile $AT$nin kesim noktasına $X$ diyelim.

$90 - \widehat{ABC} = \widehat{CBT} = \widehat{TAC} = 90 - \widehat{ADE} = 90 - \widehat{ALE}$

$\Longrightarrow \widehat{ABC} = \widehat{ALE} \Longrightarrow BELK$ çembersel

$\Longrightarrow |AE|.|AB|=|AL|.|AK|$

$(EBTX$ çemberdeş olduğundan $|AE|.|AB|=|AX|.|AT|)$

$\Longrightarrow |AE|.|AB|=|AL|.|AK|=|AX|.|AT|$

$\Longrightarrow |AL|.|AK|=|AE|.|AB|=|AX|.|AT|=|AX|.(2|AO|)=(2|AX|).|AO|=|AM|.|AO|$

$\Longrightarrow |AL|.|AK|=|AO|.|AM| \Longrightarrow KLMO$ çemberdeş

[DrLucky]

$ED$ ile $AT$nin kesim noktasına $X$ diyelim.

$90 - \widehat{ABC} = \widehat{CBT} = \widehat{TAC} = 90 - \widehat{ADE} = 90 - \widehat{ALE}$

$\Longrightarrow \widehat{ABC} = \widehat{ALE} \Longrightarrow BELK$ çembersel

$\Longrightarrow |AE|.|AB|=|AL|.|AK|$

$(EBTX$ çemberdeş olduğundan $|AE|.|AB|=|AX|.|AT|)$

$\Longrightarrow |AE|.|AB|=|AL|.|AK|=|AX|.|AT|$

$\Longrightarrow |AL|.|AK|=|AE|.|AB|=|AX|.|AT|=|AX|.(2|AO|)=(2|AX|).|AO|=|AM|.|AO|$

$\Longrightarrow |AL|.|AK|=|AO|.|AM| \Longrightarrow KLMO$ çemberdeş

Hocam T noktasını neresi olarak tanımladınız?