4)
$\ln x=f(x)+2\ln f(x)$ denkliğinde biraz değişim yaparak istediğimiz hale getirelim. İlk olarak $f(x)=y$ diyelim ve $ f^{-1}(y)=x$ olur. Denklikte $x$'i yerine koyduğumuzda $\ln (f^{-1}(y))=y+2\ln y$ denklemini elde ederiz. İki tarafı da $e$ tabanında aldığımızda $ f^{-1}(y)=e^y\cdot y^2$'i elde ederiz. İntegral sınırlarımız x için $0$ ile $e$ idi. $ f^{-1}(y)$ yerine sırayla $0$ ve $e$ yazdığımızda y değerlerimiz $0$ ve $1$ olur. $y=f(x)$ grafiğini düşünelim. Bu fonksiyon $(0,0)$ ve $(e,1)$ noktalarından geçmektedir. Buradan şu sonucu çıkartabiliriz. Fonksiyonun $x$ ekseni ile oluşturduğunu alan ile $y$ ekseni ile oluşturduğu alanın toplamı $(0,0),(0,1),(e,0),(e,1)$ köşelerine sahip dikdörtgenin alanına yani $e$'ye eşit olmalıdır. $$\int_{0}^{e} f(x) dx + \int_{0}^{1} f^{-1}(y) dy= e$$
İlk integralin değerini aramaktayız ve ikinci integral ise çözebileceğimiz seviyede basittir. Aradığımız integrale $I$ diyelim ve denkliği yeniden yazalım.
$I=e-\int_{0}^{1} e^y\cdot y^2dy$ ve ikinci integral kısmi integrasyon metodlarıyla çözüldüğünde sonucu $e-2$ bulunacaktır. Buradan da $I=2$ elde edilir.