Çarpanlarına Ayırma [çözüldü]

[MATSEVER 27]

$a \neq b$ sayıları ve $k=\dfrac{a(b+1)}{b+2}=\dfrac{b(a+1)}{a+2}$ eşitliği verilmiş olsun. Buna göre $k$ kaçtır?

[ArtOfMathSolving]

İfademizi $\dfrac{a}{b}=\dfrac{(a+1)(b+2)}{(a+2)(b+1)}=k$ şeklinde düzenleyip açarsak,

$a^2b+a^2+2ab+2a=ab^2+2ab+b^2+2b$ elde edilir . Bütün ifadeleri bir tarafta toplarsak,

$ab(a-b)+(a-b)(a+b)+2(a-b)=0 \Rightarrow (a-b)(ab+(a+b)+2)=0$ ve $a-b\neq0$ olmadığına göre;  $(a+1)(b+1)=0$ denkleminden çözümler :$a=-2,b=0$ ve $a=0,b=-2$ elde edilir . Denklemde yerine yazıldığında $k=-1$ elde edilir.

(Soruya Çok ilgi olmuş anlaşılan )

[matematik fatihi]

İfade düzenlenirse $(a-b)(ab+a+b+2)=0$ elde edilir. $a\neq b$ olduğundan $ab+a+b+2=0$ olmalı. $(a+1)(b+1)=-1$ ve $a=-\left(\dfrac{b+2}{b+1}\right)$ elde edilir. Yerine koyulursa $k=-1$ bulunur.