Analiz Cebir Eşitsizlikler Çalışma Kağıdı 2
$17.02.2016$
$\textit{Problem 1}$
$a^2+b^2+c^2+abc \le 4$ koşulunu sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{c(a+b)(ab+2c)}{c+2}+\dfrac{b(c+a)(ca+2b)}{b+2}+\dfrac{a(b+c)(bc+2a)}{a+2} \le 6$$
olduğunu gösteriniz.
$\textit{Problem 3}$
Tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{(x^2+1)(y^2+1)}{x+y}+\dfrac{(y^2+1)(z^2+1)}{y+z}+\dfrac{(z^2+1)(x^2+1)}{z+x} \ge 2(xy+yz+zx)+K$$
olmasını sağlayan en büyük $K$ gerçel sabitini ve eşitlik durumunu belirleyiniz.
$\textit{Problem 4}$
$x,y,z$ pozitif gerçel sayıları $x+y+z=3$ eşitliğini sağlıyorsa;
$$\dfrac{x^4+y^3+z^2}{x^7+y^6+z^5}+\dfrac{y^4+z^3+x^2}{y^7+z^6+x^5}+\dfrac{z^4+x^3+y^2}{z^7+x^6+y^5} \le 3$$
olduğunu gösteriniz.
$\textit{Problem 5}$
$abc=1$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{1}{a^5(b+2c)^2}+\dfrac{1}{b^5(c+2a)^2}+\dfrac{1}{c^5(a+2b)^2} \ge \frac{1}{3}$$
olduğunu gösteriniz.
$\textit{Problem 6}$
Tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için;
$$x+y+z \ge 4xyz \left( \dfrac{(2-x)(y-2)+K}{(2x+2y+1)^2}+\dfrac{(2-y)(z-2)+K}{(2y+2z+1)^2}+\dfrac{(2-z)(x-2)+K}{(2z+2x+1)^2} \right)$$
olmasını sağlayan en büyük $K$ gerçel sabitini bulunuz ve bu $K$ gerçel sabiti için eşitlik durumunu bulunuz.
$\textit{Problem 7}$
$a,b,c,d$ pozitif gerçel sayılar ve $abcd=1$ ise $\dfrac{ab+1}{a+1}+\dfrac{bc+1}{b+1}+\dfrac{cd+1}{c+1}+\dfrac{da+1}{d+1}≥4$ olduğunu ispatlayınız.
$\textit{Problem 8}$
$a,b,c$ pozitif gerçel sayıları $ab+bc+ac=1$ eşitliğini sağlıyorsa aşağıdaki eşitsizliği ispatlayınız.
$$\sqrt{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \le \dfrac{a\sqrt{a}}{bc}+\dfrac{b\sqrt{b}}{ca}+\dfrac{c\sqrt{c}}{ab}$$
$\textit{Problem 9}$
$x,y,z$ negatif olmayan gerçel sayıları $x^2+y^2+z^2=2(xy+yz+zx)$ eşitliğini sağlıyorsa;
$$\dfrac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{2xyz}$$
olduğunu gösteriniz.
