3. ulusal matematik olimpiyatı 17. soru

[idensu]

2 mavi,2kırmızı,2 beyaz top bir çember etrafına rastgele dizildiğinde, aynı renkli topların hep yanyana gelme olasılığı kaçtır?
Yanıtlar:  A) 1/20      B) 1/12   C) 1/9     D) 1/6    E) 1/4

[idensu]

Bu çözümde bir hata var mı?

[Lokman Gökçe]

Çözümünüzde hata yoktur İbrahim Bey. Olasılık problemlerinde nesneleri özdeş olarak almayız, bu prensibe uygun düşecek biçimde doğru çözümü vermişsiniz. iyi çalışmalar dilerim ...

[cunomat]

Sayın Hocam bu toplar renk olarak özdeş değiller mi?Aynı renkten olan topların kendi aralarında yer değiştirmesi görüntüde bir farklılık oluşturur mu? O zaman 3 mavi 4 beyaz top düz bir ipe kaç değişik sekilde dizilir dediği zamanda 7! mi demeliyiz?

[Lokman Gökçe]

3 mavi 4 beyaz top düz bir ipe kaç değişik sekilde dizilir dediği zaman kastedilen 3 özdeş mavi, 4 özdeş beyaz top düz bir ipe kaç değişik sekilde dizildiğidir. $\dfrac{7!}{3!4!}$ deriz. Ancak bu tür sıralama sorularında belirlilik açısından aynı renkli topların özdeş ya da farklı olduğu belirtilse daha iyi olabilir.

Olasılık problemlerinde asla toplar özdeş değildir. Olasılık sorusunda topların özdeş verilmemesi gerekir ancak 'kazara' özdeş olduğu ifade edilse bile ben gözüme hayali bir UV-gözlük takarak özdeş gibi verilen toplar arasında da fark gözetebilirim. özellikle son yıllarda Tübitak'ın 1.aşama sınavındaki olasılık sorularında bu bahsettiğim husus dikkate alınarak seçenekler veriliyor.

Son olarak şöyle basit bir örnekle açıklayayım: bir torbada 2 mavi, 1 kırmızı top var. (olmamalı ama hadi bu mavi toplar da özdeş olsun). Torbadan rastgele iki top aldığımızda farklı renklerde olma olasılığı nedir?

Eğer maviler özdeştir diye düşünüp muhtemel durumları {mavi, kırmızı} ve {mavi, mavi} diye yazarsak olasılık $\dfrac12$ oluyor. Ancak bu cevap mantıksız duruyor öyle değil mi? UV-gözlüğümüzü takalım ve mavi topların arasındaki farkı gözeterek soruyu tekrar çözelim. (Yani mavi toplar özdeş değildir diye bir akıl yürütme kullanıyoruz). Bu halde olasılık $\dfrac23$ olur. İşte bu cevap tatmin edici!

[cunomat]

Sayın Hocam şahsi düşüncem torbadaki durumun  sıralamayla bir ilişkisi yok. Eğer UV gözlük takıyorsanız çektiğiniz iki top kesinlikle bir birinden farklı renktedir ve cevap 2/3 değil 1 olur. Oradaki durum renk bakımından özdeş olmadır ki bu da eş olumluluğu bozar. Yani siz torbadan bir mavi topu aldığınızda orda yine başka bir mavi top duruyor olacaktır. Yani siz mavilerden birini aldığınızda diğeride onunla beraber gelmez, onun için mavi ile kırmızı eş olumlu değildir.Sıralama da ise görünüm tekrarlanabilir.  Aynı görünüm birden fazla şekilde tekrar edilebilir. Size şöyle bir soru sorsam; " 2M ve 2K top yuvarlak bir ipe diziliyor, mavi topların yan yana gelme olasılığı nedir?" 

[Lokman Gökçe]

soruda şunu soruyorum: 1 mavi, 1 kırmızı gelme olasılığı nedir? toplar farklı renkte derken bunu kastettim. Bu soruyu nasıl çözersiniz? sizce doğrusu 1/2 midir yoksa 2/3 müdür?

Şimdi 2 mavi, 2 top dairesel dizildiğinde mavi  topların yan yana gelme olasılığına bakalım: tüm durum 3!=6. istenen durum = 2!(3-1)!= 4 olup olasılık =2/3 tür.


benzer bir problem tübitak 2013/16:

http://geomania.org/forum/2013-50/tubitak-lise-1-asama-2013-soru-16/

[cunomat]

Hocam elbette 2/3 yukarda ona açıklama yaptım. Sıralama çok farklı, top çekimi çok farklı diye düşünüyorum. Yani bahsettiğiniz örnekler benim soruma yanıt vermiyor. Benim soruya döndüğümüzde ;
    M                       M 
K       M    ve     K        K durumlarından başka bir sıralama göremiyorum. Buradaki yanlışı söyler misiniz? Diğer kısımda zaten hem fikiriz.
    K                       M

Teşekkürler...

[Lokman Gökçe]

    M                       M 
K       M    ve     K        K    durumlarınının oluşma olasılığı acaba eşit midir? Eğer böyle olduğunu bilsek mavilerin yan yana gelme olasılığı 
    K                       M

$\dfrac{1}{2}$ olurdu. olasılık = (istenen durumların sayısı)/(tüm durumların sayısı) diye uyguladığımız formül eş olumlu örnek uzayda geçerlidir.

    M                       M 
K       M    ve     K        K    durumlarının hangisinin daha baskın olduğunu anlamanın yolu tüm topların farklı olduğunu varsaymaktır.
    K                       M

Aynı renkli topları farklı olarak değerlendirirsek hangi dizilimlerin daha baskın, hangilerinin nadir olarak ortaya çıktığını hesaplayabiliyoruz. Bu yüzden olasılık problemlerinde asla özdeş nesneler diye birşey yoktur.