Bu soru çok şık olmuş fakat biraz hamallık var ben onları Python ile çıktılarını vereceğim.
Öncelikle $x^2+y^2=z^2$ denkleminin genel çözümünden bahsetmekte yarar var.
$(s,t)=1$ ve $s\not \equiv t(mod2)$ için
$$x^2=2stk \text{ , } y^2=k.(s^2-t^2) \text{ , } z^2=k.(s^2+t^2)$$
olduğunu gösterelim.
$ispat:$
$Lemma:$ İspata girerken öncelikle $x$ çift olursa $y$ ve $z$ nin tek olduğunu gösterelim.
$x^2+y^2=z^2$ denkleminde $x $ ile $y$ ifadelerinin ikisinin de tek olması $z^2 \equiv 2(mod4)$ olmasına neden olur.
her ikisinin de çift olması durumu ise $(x,y,z)=1$ kabulünden dolayı çelişir
burada bizim çift olan terimimiz $x$ olduğu için $z+y$ ile $z-y$ de çift olmalıdır.
$x=2r$, $z+y=2u$ , $z-y=2v$ olacak şekilde $ r,u,v\ge 1$ tam sayıları vardır.
$x^2=z^2-y^2$ olduğundan dolayı $4r^2=2u.2v$ yani $r^2=uv$ elde edilir.
Şimdi $(u,v)=1$ olduğunu hızlıca gösterelim. $d=(u,v)$ olsun. $z-y=2u$ ve $c+b=2v$ olduğundan dolayı $z=u+v$ ve $y=u-v$ olmalıdır. $d\mid z $ ve $d\mid y$ olmalıdır. fakat $(y,z)=1$ olduğu için $(u,v)=1$ olmalıdır.
$(u,v)=1$ olduğundan dolayı $u$ ile $v$ ayrı ayrı birer tam kare olmalıdır.
$u=s^2$ , $v=t^2$ , $s,t\ge 1$ tam sayıları bulunur. İfadeleri düzenlersek
$$x^2=2stk \text{ , } y^2=k.(s^2-t^2) \text{ , } z^2=k.(s^2+t^2)$$
olduğu ispatlanmış olur.
Şimdi ise $k$ çarpanı yokmuş gibi bakıldığında ilkel çözümlerden bahsettiğimiz için $2019^{2018}$ i çarpanlarına ayıralım. $3^{2018}.673^{2018}$
Yani biz ilkel çözüm ararken $x^2+y^2=3$, $x^2+y^2=1$, $x^2+y^2=673$ için ayrı çözümler arayıp tüm değeri bulabiliriz.
$1)$ $s^2+t^2=3$ denkleminde $x\in\{0,1\}$ olması gerektiğini ve çözümün olmadığını görebiliriz.
$2)$ $s^2+t^2=1$ denkleminde $(1,0)$ ve $(0,1)$ çözümleri gelir.
$3)$ $s^2+t^2=673$ denkleminde (burayı python'a çözdürdüm.)
$s$ değeri $ 25.92296279363144 $ , $t$ değeri $ 1 $
$s$ değeri $ 25.865034312755125 $ , $t$ değeri $ 2 $
$s$ değeri $ 25.768197453450252 $ , $t$ değeri $ 3 $
$s$ değeri $ 25.632011235952593 $ , $t$ değeri $ 4 $
$s$ değeri $ 25.45584412271571 $ , $t$ değeri $ 5 $
$s$ değeri $ 25.238858928247925 $ , $t$ değeri $ 6 $
$s$ değeri $ 24.979991993593593 $ , $t$ değeri $ 7 $
$s$ değeri $ 24.677925358506133 $ , $t$ değeri $ 8 $
$s$ değeri $ 24.331050121192877 $ , $t$ değeri $ 9 $
$s$ değeri $ 23.93741840717165 $ , $t$ değeri $ 10 $
$s$ değeri $ 23.49468024894146 $ , $t$ değeri $ 11 $
$s$ değeri $ 23.0 $ , $t$ değeri $ 12 $
$s$ değeri $ 22.44994432064365 $ , $t$ değeri $ 13 $
$s$ değeri $ 21.840329667841555 $ , $t$ değeri $ 14 $
$s$ değeri $ 21.166010488516726 $ , $t$ değeri $ 15 $
$s$ değeri $ 20.42057785666214 $ , $t$ değeri $ 16 $
$s$ değeri $ 19.595917942265423 $ , $t$ değeri $ 17 $
$s$ değeri $ 18.681541692269406 $ , $t$ değeri $ 18 $
$s$ değeri $ 17.663521732655695 $ , $t$ değeri $ 19 $
$s$ değeri $ 16.522711641858304 $ , $t$ değeri $ 20 $
$s$ değeri $ 15.231546211727817 $ , $t$ değeri $ 21 $
$s$ değeri $ 13.74772708486752 $ , $t$ değeri $ 22 $
$s$ değeri $ 12.0 $ , $t$ değeri $ 23 $
$s$ değeri $ 9.848857801796104 $ , $t$ değeri $ 24 $ olduğundan dolayı $(23,12)$ ve $(12,23)$ gelir.
$2)$ numaralı denklem aslında $x=0$ veya $y=0$ için çözümlerdir. $(0,2019^{1009})$ , $(2019^{1009},0)$ olarak bulunur. $2$
çözüm vardır.
$3)$ numaralı denklemde ilkel çözüm olarak $673$ çarpanı $s^2+t^2$ içinde olması gerektiğini söylemiştik.
$x^2+y^2=673^1$ denkleminin $2$ çözümü olduğunu gördük.
$x^2+y^2=673^2$ denkleminin biraz uğraşma ile $2$ çözümü olduğu da görülebilir.
$x^2+y^2=673^3$ denkleminin $4$ çözümü vardır.
$x^2+y^2=673^4$ denkleminin $4$ çözümü vardır.
.
.
.
$x^2+y^2=673^n$ denkleminin bir gözlem ile çözüm sayısını kolayca tahmin edebiliriz.
$n$ çift ise $n$ ,
$n$ tek ise $n+1$ pozitif tam sayı çözümü vardır.
buradan $3)$ nolu kısmımızın $2018$ çözümü olmalıdır.
O halde toplam çözüm sayısı $2018+2=2020$ olarak bulunur.
