Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 19

[Egemen]

$x$ ve $y$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere,  $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} +\dfrac{x^2}{y^2}+ \dfrac{y^2}{x^2}=18$ ise  $\dfrac{(x-y)^2}{xy}$ nedir?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 2$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{E}$

$\dfrac{x}{y}=a$ denirse, $\dfrac{(x-y)^2}{xy}=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2=a+\dfrac{1}{a}-2$ ifadesinin değerini bulmalıyız.
Verilen eşitlik $ a+\dfrac{1}{a}+a^2+\dfrac{1}{a^2}=18$'dir. Her iki tarafa $2$ eklenirse,
$a+\dfrac{1}{a}+a^2+\dfrac{1}{a^2}+2=20 \Longrightarrow a+\dfrac{1}{a}+\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2=20 \Longrightarrow \left(a+\dfrac{1}{a}+5\right)\cdot\left(a+\dfrac{1}{a}-4\right)=0 \Longrightarrow a+\dfrac{1}{a}=-5$ veya $a+\dfrac{1}{a}=4$'tür.
$x,y>0$ olduğundan $a=\dfrac{x}{y}>0$'dır. Dolayısıyla $a+\dfrac{1}{a}=4$'tür.
Bize sorulan $\dfrac{(x-y)^2}{xy}=a+\dfrac{1}{a}-2$ ifadesinin değeri de $4-2=2$'dir.