Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2012 Soru 16

[Egemen]

Ahmet $30$ şekeri, herhangi $2$ günde yediği şeker sayısının farkı $3$'e bölünmemek koşuluyla üç günde kaç farklı biçimde yiyebilir?

$\textbf{a)}\ 330 \qquad\textbf{b)}\ 300 \qquad\textbf{c)}\ 275 \qquad\textbf{d)}\ 240 \qquad\textbf{e)}\ {165}$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{A}$

İlk gün $a_1$, ikinci gün $a_2$, üçüncü gün $a_3$ şeker yemiş olsun. $a_i-a_j\not\equiv0\pmod3 \Longrightarrow a_i\not\equiv a_j\pmod3$ olmalıdır. Yani $a_1, a_2, a_3$ sayıları $\pmod3$'te farklı kalanları vermelidir. $\pmod3$'teki kalanlar $0, 1, 2$ olabileceği için $a_i$ sayılarından biri $0$, biri $1$, biri $2$ kalanı vermelidir.
Toplam $6$ farklı permütasyon olduğundan, tek birinin sayısını bulup $6$ ile çarpabiliriz.
$a_1\equiv0\pmod3$, $a_2\equiv1\pmod3$, $a_3\equiv2\pmod3$ olsun.
$a_1=3b_1$, $a_2=3b_2+1$, $a_3=3b_3+2$ diyelim.
$3b_1+3b_2+1+3b_3+2=30 \Longrightarrow b_1+b_2+b_3=9$ eşitliğinin $\binom{9+3-1}{3-1}=\binom{11}{2}=55$ çözümü vardır.
$55\cdot6=330$'dur.